sante ni décroissante à droite de , mais si l’un des deux est nul on ne peut plus rien dire.
Lorsque on dit que la fonction admet une dérivée à droite, égale à ; si , la valeur de est dérivée à gauche.
Si , la fonction a une dérivée égale à . Cette définition est identique à la définition classique, sauf le cas où [1].
Faisons une application de ces définitions à l’intégrale. Le théorème de la moyenne donne
,
si est l’une quelconque des trois intégrales indéfinies et si et sont les limites inférieure et supérieure de dans ; on peut même supposer que est exclu de l’intervalle .
Si nous faisons tendre vers par valeurs plus petites que , nous voyons que le nombre dérivé supérieur à gauche pour d’une des intégrales indéfinies d’une fonction bornée , est au plus égal à la limite supérieure de à gauche de et le nombre dérivé inférieur de à gauche est au moins égal à la limite inférieure de , à gauche de .
Supposons que existe, alors les deux limites de à gauche de sont , donc : quand existe, l’une quelconque des intégrales indéfinies de la fonction bornée admet, pour , une dérivée à gauche égale à .
On raisonne de même pour les nombres dérivés et la dérivée à droite.
La fonction de Riemann , n’admettant que des points de discontinuité de première espèce, conduit à une intégrale indéfinie qui a, en tout point, une dérivée à droite et une dérivée à gauche déterminée. C’est en somme l’existence de ces dérivées à droite et à gauche qui a été démontrée à la page 65.
Si et existent et sont égales, l’intégrale de admet la valeur commune de et pour dérivée, quand , quel que soit le nombre .
- ↑ Avec cette définition admet une dérivée déterminée, , pour .