sante ni décroissante à droite de
, mais si l’un des deux est nul on ne peut plus rien dire.
Lorsque
on dit que la fonction admet une dérivée à droite, égale à
; si
, la valeur de
est dérivée à gauche.
Si
, la fonction a une dérivée égale à
. Cette définition est identique à la définition classique, sauf le cas où
[1].
Faisons une application de ces définitions à l’intégrale. Le théorème de la moyenne donne
![{\displaystyle l\leqq r[\mathrm {F} (x),\alpha ,\beta ]\leqq \mathrm {L} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb160424a40452e82cc58cc1ee08e7ba1c3daff)
,
si
est l’une quelconque des trois intégrales indéfinies et si
et
sont les limites inférieure et supérieure de
dans
; on peut même supposer que
est exclu de l’intervalle
.
Si nous faisons tendre
vers
par valeurs plus petites que
, nous voyons que le nombre dérivé supérieur à gauche pour
d’une des intégrales indéfinies d’une fonction bornée
, est au plus égal à la limite supérieure de
à gauche de
et le nombre dérivé inférieur de
à gauche est au moins égal à la limite inférieure de
, à gauche de
.
Supposons que
existe, alors les deux limites de
à gauche de
sont
, donc : quand
existe, l’une quelconque des intégrales indéfinies de la fonction bornée
admet, pour
, une dérivée à gauche égale à
.
On raisonne de même pour les nombres dérivés et la dérivée à droite.
La fonction de Riemann
, n’admettant que des points de discontinuité de première espèce, conduit à une intégrale indéfinie qui a, en tout point, une dérivée à droite et une dérivée à gauche déterminée. C’est en somme l’existence de ces dérivées à droite et à gauche qui a été démontrée à la page 65.
Si
et
existent et sont égales, l’intégrale de
admet la valeur commune de
et
pour dérivée, quand
, quel que soit le nombre
.
- ↑ Avec cette définition
admet une dérivée déterminée,
, pour
.