Il existe pour les nombres dérivés une proposition analogue au théorème des accroissements finis[1] :
Si et sont les limites supérieure et inférieure de l’un quelconque des quatre nombres dérivés de la fonction dans , on a
Je suppose que et soient relatifs à et je vais démontrer seulement qu’il existe des valeurs de au moins égales à
J’adopte pour cela le langage géométrique parce qu’il me paraît plus expressif ; on le traduira facilement si l’on veut en langage analytique.
La propriété est évidente si la courbe qui représente se réduit à la corde joignant ses extrémités (fig. 2).
S’il n’en est pas ainsi et s’il existe des points de la courbe au-dessus Fig. 2.
de (c’est-à-dire du côté de ), je déplace la
- ↑ On sait que ce théorème s’énonce ainsi :
Si une fonction est continue dans l’intervalle , et admet une dérivée bien déterminée pour chaque valeur de intérieure à , il existe un nombre de cet intervalle tel que
Cet énoncé ne suppose pas que soit bornée ou même finie, mais si est infinie, ce doit être , ou , et non pas .