droite
parallèlement à elle-même en
de manière qu’elle coupe
.
Au-dessus de
il y a des arcs de
, soit
l’un d’eux. Au point
de
,
et
sont évidemment supérieurs ou au moins égaux au coefficient angulaire de
, c’est-à-dire à
et la propriété est démontrée dans ce cas.
Enfin si
n’a pas de point au-dessus de
(fig. 3), je déplace
parallèlement à elle-même vers
, et soit
la dernière Fig. 3.
position dans laquelle elle ait des points communs avec
. Si
est l’un quelconque de ces points, en ce point
et
sont au moins égaux à
; la propriété est démontrée dans tous les cas.
Du théorème précédent il résulte que les quatre nombres dérivés ont la même limite supérieure et la même limite inférieure dans tout intervalle.
Comparons, en effet, les limites supérieures
et
de
et
. Puisque
a pour limite
et que
est la limite de rapports
, où
et
appartiennent à l’intervalle considéré
, on peut trouver
et
dans
tels que
soit supérieur à
. Le maximum de
dans
, donc dans
, est par suite au moins égal à
. Ceci suffit pour démontrer que
et
sont égaux.
La valeur commune de
et
est en même temps la limite supérieure du rapport
.
La propriété énoncée pour les limites supérieure et inférieure dans un intervalle entraîne la même propriété pour les limites