nous avons besoin de savoir que la limite supérieure du nombre dérivé de est de la forme , sans d’ailleurs avoir besoin de connaître ; ceci va nous conduire à l’énoncé suivant qui renferme tous les précédents :
Une fonction continue est déterminée, à une constante additive près, quand on sait qu’elle a un nombre dérivé supérieur à droite fini en tout point, sauf peut-être en ceux d’un ensemble dénombrable , et quand on connaît ce nombre dérivé fini, sauf tout au plus aux points d’un ensemble de mesure nulle.
Soit toujours la différence de deux fonctions convenant aux données et couvrons à partir de d’une chaîne d’intervalles. Ceux qui ont pour origines des points de , ou n’appartenant ni à , ni à , sont choisis comme il a été dit et donnent dans une contribution égale au plus à . Partageons en des ensembles , l’ensemble étant formé des points en lesquels le nombre dérivé supérieur à droite de vérifie l’inégalité
et enfermons , qui est de mesure nulle, dans des intervalles de longueur totale . Un intervalle de la chaîne ayant pour origine un point de sera pris intérieur aux et tel que
Alors les intervalles de la chaîne ayant pour origine des points de ont dans une contribution au plus égale à leur longueur multipliée par , donc inférieure à . Et, par suite, on trouve
Nous n’avons plus conservé qu’une restriction : le nombre dérivé supérieur à droite est fini.
Cette restriction est d’ailleurs nécessaire : la fonction (page 56) n’est pas une constante, bien qu’elle ait sa dérivée nulle