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CHAPITRE V.

nous avons besoin de savoir que la limite supérieure du nombre dérivé de $f(x)$ est de la forme $2\mathrm {M}$, sans d’ailleurs avoir besoin de connaître $\mathrm {D}$ ; ceci va nous conduire à l’énoncé suivant qui renferme tous les précédents :

Une fonction continue est déterminée, à une constante additive près, quand on sait qu’elle a un nombre dérivé supérieur à droite fini en tout point, sauf peut-être en ceux d’un ensemble dénombrable $\mathrm {D}$, et quand on connaît ce nombre dérivé fini, sauf tout au plus aux points d’un ensemble $\mathrm {E}$ de mesure nulle.

Soit toujours ${f=f_{1}-f_{2}}$ la différence de deux fonctions convenant aux données et couvrons ${(a,b)}$ à partir de $a$ d’une chaîne d’intervalles. Ceux qui ont pour origines des points de $\mathrm {D}$, ou n’appartenant ni à $\mathrm {D}$, ni à $\mathrm {E}$, sont choisis comme il a été dit et donnent dans ${f(b)-f(a)}$ une contribution égale au plus à ${\varepsilon (b-a+1)}$. Partageons $\mathrm {E}$ en des ensembles $\mathrm {E_{i}}$, l’ensemble $\mathrm {E_{i}}$ étant formé des points en lesquels le nombre dérivé supérieur à droite de $f$ vérifie l’inégalité

$i-1\leqq |\Lambda _{d}f|<i$ ;

et enfermons $\mathrm {E} _{i}$, qui est de mesure nulle, dans des intervalles $d_{i}$ de longueur totale ${\frac {\varepsilon }{2^{i}i}}$. Un intervalle ${(x,x+\delta )}$ de la chaîne ayant pour origine un point de $\mathrm {E_{i}}$ sera pris intérieur aux $d_{i}$ et tel que

$\left\vert {\frac {f(x+\delta )-f(x)}{\delta }}\right\vert <i$.

Alors les intervalles de la chaîne ayant pour origine des points de $\mathrm {E} _{i}$ ont dans ${f(b)-f(a)}$ une contribution au plus égale à leur longueur multipliée par $i$, donc inférieure à ${{\frac {\varepsilon }{2^{i}i}}\times i={\frac {\varepsilon }{2^{i}}}}$. Et, par suite, on trouve

$f(b)-f(a)<\varepsilon (b-a+2)$.

Nous n’avons plus conservé qu’une restriction : le nombre dérivé supérieur à droite est fini.

Cette restriction est d’ailleurs nécessaire : la fonction $\xi (x)$ (page 56) n’est pas une constante, bien qu’elle ait sa dérivée nulle