intervalles pour calculer , nous trouvons que cette quantité est au plus égale à
or est quelconque, donc ; et, puisque ce raisonnement pourrait être employé pour une partie quelconque de , la fonction est constante.
Ce mode de démonstration conduit à un autre résultat. Supposons que l’ensemble exceptionnel soit, non plus un ensemble dénombrable, mais un ensemble de mesure nulle. Cela veut dire que les points de peuvent être recouverts à l’aide d’une infinité dénombrable d’intervalles dont la somme des longueurs est aussi petite que l’on veut.
À un point , n’appartenant pas à , faisons correspondre un intervalle , ou , comme il a été dit plus haut. À un point de nous faisons maintenant correspondre, comme intervalle , l’intervalle dont l’origine est et dont l’extrémité est l’extrémité de l’intervalle contenant .
Nous recouvrons à partir de à l’aide d’une chaîne d’intervalles et ; cette chaîne donne, comme limite supérieure de l’accroissement de dans , le nombre augmenté de la somme des accroissements de dans les intervalles . La somme des longueurs des est plus petite que la somme relative aux , donc elle est aussi petite que l’on veut. Cela ne permet pas d’en conclure en général que la somme correspondante des accroissements de est aussi petite que l’on veut ; mais si et ont des nombres dérivés inférieurs en valeur absolue à , cette somme est inférieure à . Ainsi :
Une fonction, à nombres dérivés bornés, est déterminée, à une constante additive près, quand on connaît son nombre dérivé supérieur à droite, pour toute valeur de , sauf pour celles d’un ensemble de mesure nulle.
Cet énoncé ne nous fournit aucun renseignement relativement à l’indétermination du problème C′ quand le nombre dérivé donné n’est pas borné.
Mais remarquons que c’est seulement pour les points de que
