d’étendre les intégrales qui y figurent à l’ensemble dans lequel on connaît le nombre dérivé.
À cette remarque s’en rattache une autre plus importante. Le cas dans lequel nous savons résoudre le problème C′ est celui où le nombre dérivé donné est intégrable. Ce nombre dérivé a alors des points de continuité ; en ces points l’intégrale de ce nombre dérivé a une dérivée égale au nombre dérivé donné, et l’on connaît partout la dérivée de la fonction inconnue, sauf aux points de discontinuité, c’est-à-dire sauf aux points d’un ensemble de mesure nulle. Il suffirait de se servir des valeurs connues de la dérivée pour avoir la fonction. Le cas résolu du problème problème C′ se ramène donc en réalité au problème C.
Les raisonnements qui précèdent nous permettent de répondre aux questions B et B′ dans un cas important : celui où la fonction donnée est intégrable. Pour reconnaître, par exemple, si une fonction intégrable donnée est une dérivée exacte, on formera son intégrale indéfinie , puis on recherchera si l’on a
On a donc un procédé régulier de calcul permettant de reconnaître si est ou non une dérivée exacte. Il est vrai qu’il faut rechercher si une certaine expression a ou non la limite connue ; mais une dérivée étant par définition une limite, il est peu probable qu’on puisse remplacer le procédé de calcul indiqué par un autre dans lequel on n’emploierait pas les limites.
Nous avons trouvé une condition nécessaire et suffisante pour qu’une fonction intégrable soit une dérivée ; elle ne se présente pas sous la forme que l’on donne habituellement à de telles conditions. Le plus souvent on énonce, comme condition nécessaire et suffisante pour l’existence d’un fait A, l’existence d’une propriété B qui accompagne toujours le fait A et est toujours accompagnée par lui ; mais, pour que l’on ait autre chose qu’une tautologie, il faut que l’on connaisse un procédé régulier de calcul permettant de savoir si l’on a ou non la propriété B. C’est ce procédé qui a été directement donné pour le cas qui nous occupe.
Si l’on tient à énoncer la condition nécessaire et suffisante trouvée sous la forme habituelle, on pourra, comme le fait Darboux,
