Or il suffit de reprendre, en le modifiant légèrement, l’un ou l’autre des deux raisonnements qui nous ont conduits au théorème de Scheeffer, pour voir que cela est impossible.
IV. — Recherche de la fonction dont un nombre dérivé est connu.
Nous allons essayer de résoudre les problèmes B′ et C′ dans le cas où la fonction , donnée comme , est bornée.
Divisons l’intervalle positif en intervalles partiels. Dans les limites inférieure et supérieure de sont et , donc, si est la fonction cherchée telle que , on a
Si nous faisons la somme des inégalités analogues, relatives aux intervalles partiels, nous avons, en faisant tendre ces intervalles vers zéro,
De cette inégalité il résulte en particulier que : si l’un des nombres dérivés d’une fonction est intégrable, auquel cas les trois autres le sont aussi et ont même intégrale, son intégrale indéfinie est de la forme ; et cet énoncé, plus particulier encore : lorsqu’une dérivée est intégrable, il y a identité entre ses fonctions primitives et ses intégrales indéfinies.
Ces énoncés s’appliqueraient évidemment au cas où la fonction donnée deviendrait infinie au voisinage des points d’un ensemble réductible, à condition d’employer la généralisation de l’intégrale qui a été indiquée page 70.
Si nous tenons compte des théorèmes énoncés à la fin du paragraphe précédent, nous voyons que si l’on connaît partout le nombre dérivé, sauf pour les valeurs d’un ensemble dénombrable, — ou si on le connaît partout, sauf pour les valeurs d’un ensemble de mesure nulle, et si l’on sait de plus qu’il est borné partout, — on peut encore appliquer les théorèmes précédents, à condition
(Il y une erreur dans la deuxième équation centrée, voir page de discussion)
