quant à la condition 1′ c’est la condition 1. Une explication est cependant nécessaire ; il y a deux espèces d’ensembles égaux : ceux que l’on peut faire coïncider par un glissement de et ceux que l’on peut faire coïncider par une rotation de autour d’un point de ; c’est aux premiers seulement que s’applique la condition 1′. Je n’ai pas mis cette restriction dans l’énoncé parce que, dans les raisonnements suivants, on peut s’astreindre à ne pas employer d’autres déplacements que des glissements et cependant on obtiendra toujours pour deux ensembles égaux de l’une ou l’autre manière des mesures égales[1].
Une conséquence simple des conditions 1′, 2′, 3′ est que tout intervalle positif a pour mesure sa longueur , que les extrémités fassent ou non partie de l’intervalle[2].
Si l’on se reporte au Chapitre III, on voit immédiatement que, si le problème de la mesure est possible, on a
pour les ensembles mesurables J, le problème de la mesure est possible au plus d’une manière et la mesure est l’étendue au sens de Jordan.
Soit maintenant un ensemble quelconque , nous pouvons enfermer ses points dans un nombre fini ou une infinité dénombrable d’intervalles non empiétants ; la mesure de l’ensemble des points de ces intervalles est, d’après 2′, la somme des longueurs des intervalles ; cette somme est une limite supérieure de la mesure de . L’ensemble de ces sommes a une limite inférieure ,
- ↑ Toutes les conditions du problème d’intégration pour les fonctions sont exprimées ; mais on pourrait craindre que cela ne suffise pas pour que les intégrales des fonctions quelconques, qui sont déterminées dès que les intégrales des fonctions le sont, satisfassent aussi à ces conditions. Ce qui suit montre que ces craintes ne sont pas justifiées.
On pourrait le démontrer dès à présent, sans se servir de la valeur de l’intégrale des fonctions, et l’on pourrait aussi démontrer que, si l’on supprime les mots ou d’une infinité dénombrable dans 2′, on a un nouveau problème de la mesure qui correspond complètement au problème d’intégration posé avec les conditions 1, 2, 3, 4, 5 sans la condition 6.
- ↑ Ceci a été déjà exprimé par l’égalité .