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CHAPITRE VII.

la mesure extérieure de $\mathrm {E}$, et l’on a évidemment

$m(\mathrm {E} )\leqq m_{e}(\mathrm {E} )\leqq e_{e}(\mathrm {E} )$.

Soit $\mathrm {C_{AB}(E)}$ le complémentaire de $\mathrm {E}$ par rapport à $\mathrm {AB}$, c’est-à-dire l’ensemble des points ne faisant pas partie de $\mathrm {E}$ et faisant partie d’un segment $\mathrm {AB}$ de $ox$ contenant $\mathrm {E}$. On doit avoir

$m(\mathrm {E} )+m[\mathrm {C_{AB}(E)} ]=m(\mathrm {AB} )$,

donc

$m(\mathrm {E} )=m(\mathrm {AB} )-m[\mathrm {C_{AB}(E)} ]\geqq m(\mathrm {AB} )-m_{e}[\mathrm {C_{AB}(E)} ]$ ;

la limite inférieure ainsi trouvée pour $m(\mathrm {E} )$, limite qui est nécessairement positive ou nulle, s’appelle la mesure intérieure de $\mathrm {E}$, $m_{i}(\mathrm {E} )$ ; elle est évidemment supérieure ou au moins égale à l’étendue intérieure de $\mathrm {E}$.

Pour comparer les deux nombres $m_{e}$, $m_{i}$, nous nous servirons d’un théorème dû à M. Borel :

Si l’on a une famille d’intervalles $\Delta$ tels que tout point d’un intervalle ${(a,b)}$, y compris $a$ et $b$, soit intérieur^[1] à l’un au moins des $\Delta$, il existe une famille formée d’un nombre fini des intervalles $\Delta$ et qui jouit de la même propriété [tout point de ${(a,b)}$ est intérieur à l’un d’eux].

Soit ${(\alpha ,\beta )}$ l’un des intervalles $\Delta$ contenant $a$, la propriété à démontrer est évidente pour l’intervalle ${(a,x)}$, si $x$ est compris entre $\alpha$ et $\beta$ ; je veux dire que cet intervalle peut être couvert à l’aide d’un nombre fini d’intervalles $\Delta$, ce que j’exprime en disant que le point $x$ est atteint. Il faut démontrer que $b$ est atteint. Si $x$ est atteint, tous les points de ${(a,x)}$ le sont ; si $x$ n’est pas atteint, aucun des points de ${(x,b)}$ ne l’est. Il y a donc, si $b$ n’est pas atteint, un premier point non atteint, ou un dernier point atteint ; soit $x_{0}$ ce point. Il est intérieur à un intervalle $\Delta$, ${(\alpha _{1},\beta _{1})}$. Soient $x_{1}$ un point de ${(\alpha _{1},x_{0})}$, $x_{2}$ un point de ${(x_{0},\beta )}$ ; $x_{1}$ est atteint par hypothèse, les intervalles $\Delta$ en nombre fini qui servent à l’atteindre, plus l’intervalle ${(\alpha _{1},\beta _{1})}$, permettent d’atteindre ${x_{2}>x_{0}}$ ; $x_{0}$ n’est donc ni le dernier point atteint, ni le premier non atteint ; donc $b$ est atteint^[2].

1. Intérieur étant pris au sens étroit qui exclut les extrémités.
2. M. Borel a donné, dans sa Thèse et dans ses Leçons sur la théorie des