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L’INTÉGRATION DÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

Du théorème de M. Borel il résulte que si l’on a couvert tout un intervalle ${(a,b)}$ à l’aide d’une infinité dénombrable d’intervalles $\Delta$, la somme des longueurs de ces intervalles est au moins égale à la longueur de l’intervalle ${(a,b)}$^[1]. En effet, on peut aussi couvrir ${(a,b)}$ à l’aide d’un nombre fini des intervalles $\Delta$ et le théorème, étant évidemment vrai quand on ne considère que ces intervalles en nombre fini, l’est a fortiori quand on considère tous les intervalles $\Delta$.

Reprenons maintenant l’ensemble $\mathrm {E}$ et son complémentaire $\mathrm {C_{AB}(E)}$. Enfermons le premier dans une infinité dénombrable d’intervalles $\alpha$, le second dans les intervalles $\beta$, on a

$m(\alpha )+m(\beta )\geqq m(\mathrm {AB} )$,

puisque $\mathrm {AB}$ est couvert par les intervalles $\alpha$ et $\beta$. De là, on déduit

${\begin{aligned}&m_{e}(\mathrm {E} )+m_{e}[\mathrm {C_{AB}(E)} ]\geqq m(\mathrm {AB} ){\text{,}}\\&m_{e}(\mathrm {E} )\geqq m(\mathrm {AB} )-m_{e}[\mathrm {C_{AB}(E)} ]{\text{,}}\\&m_{e}(\mathrm {E} )\geqq m_{i}(\mathrm {E} ){\text{.}}\end{aligned}}$

fonctions, deux démonstrations de ce théorème. Ces démonstrations supposent essentiellement que l’ensemble des intervalles $\Delta$ est dénombrable ; cela suffit dans quelques applications ; il y a cependant intérêt à démontrer le théorème du texte. Par exemple, pour les applications que j’ai faites, dans ma Thèse, du théorème de M. Borel, il était nécessaire qu’il soit démontré pour un ensemble d’intervalles $\Delta$ ayant la puissance du continu.

On a déduit du théorème, tel qu’il est énoncé dans le texte, une jolie démonstration de l’uniformité de la continuité.

Soit $f(x)$ une fonction continue en tous les points de ${(a,b)}$, y compris $a$ et $b$ ; chaque point de ${(a,b)}$ est, par définition, intérieur à un intervalle $\Delta$ dans lequel l’oscillation de $f(x)$ est inférieure à $\varepsilon$. À l’aide d’un nombre fini d’entre eux, on peut couvrir ${(a,b)}$ ; soit $l$ la longueur du plus petit intervalle $\Delta$ employé, dans tout intervalle de longueur $l$ l’oscillation de $f$ est au plus $2\varepsilon$, car un tel intervalle empiète sur deux intervalles $\Delta$ au plus ; la continuité est uniforme.

Cette application du théorème complété fait bien comprendre, il me semble, tout l’usage qu’on en peut faire dans la théorie des fonctions. Depuis l’époque où paraissait la première édition de ce livre le théorème de M. Borel a été très étudié ; il a donné lieu à des attributions de priorité qui ne m’ont paru en rien justifiées comme j’ai eu l’occasion de le dire au cours d’une analyse de l’Ouvrage de M. et M^me Young, cité p. 37 (Bull. des Sc. math., 1907). Pour les rapports entre la démonstration du texte et la première démonstration de M. Borel, voir la Note finale.

1. Si, comme je le suppose dans la démonstration, on admet que tout point de ${(a,b)}$ est intérieur à l’un des $\Delta$, on peut remplacer au moins égale par supérieure.