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CHAPITRE VIII.

prouvée, il faut toutefois montrer que $\Psi (\mathrm {E} )$ a nécessairement la valeur zéro dans certains ensembles, car si, par exemple, $\Psi (\mathrm {E} )$ était constamment positive, $\mathrm {-N(E)}$ serait constamment nulle et ne serait pas la limite inférieure de $\Psi (\mathrm {E} )$, $\mathrm {E} ^{n}$ n’existerait pas. Or ceci est impossible^[1], car les ensembles $\mathrm {E}$ réduits à un point qui donnent à $\Psi (\mathrm {E} )$ une valeur non nulle forment au plus une infinité dénombrable.

En effet, il ne saurait y avoir une infinité de points constituant chacun un ensemble $\mathrm {E}$ en lequel $\Psi (\mathrm {E} )$ surpasse le nombre positif $\mathrm {K}$ ; car pour l’ensemble formé par une infinité dénombrable de ces points $\Psi (\mathrm {E} )$ serait infinie. En faisant ensuite parcourir à $\mathrm {K}$ une suite de nombres positifs tendant vers zéro on voit que les points pour lesquels $\Psi (\mathrm {E} )$ a une valeur positive forment, un ensemble dénombrable. La même conclusion s’applique aux points pour lesquels $\Psi (\mathrm {E} )$ est négative.

Chaque point constituant à lui seul un ensemble en lequel $\Psi$ n’est pas nulle est dit un point de discontinuité de $\mathrm {E}$. Formons la fonction $\psi (\mathrm {E} )$ égale à la somme des valeurs prises par $\Psi$ en ceux de ses points de discontinuité qui appartiennent à $\mathrm {E}$. Il est clair que $\psi (\mathrm {E} )$ est complètement additive, qu’elle a pour variations positive et négative les fonctions $\pi (\mathrm {E} )$, $\nu (\mathrm {E} )$ formées de façon analogue avec $\mathrm {P(E)}$ et $\mathrm {N(E)}$ et qu’elle a pour variation totale la somme ${\pi (\mathrm {E} )+\nu (\mathrm {E} )}$ qui est la fonction qui se déduirait de la même manière de $\mathrm {V(E)=P(E)+N(E)}$. $\psi (\mathrm {E} )$ est dite la fonction des sauts de $\Psi (\mathrm {E} )$.

La fonction ${\Psi (\mathrm {E} )-\psi (\mathrm {E} )}$ n’a plus de points de discontinuité, non plus que ${\mathrm {P(E)} -\pi (\mathrm {E} )}$, ${\mathrm {N(E)} -\nu (\mathrm {E} )}$, ${\mathrm {V(E)} -\pi (\mathrm {E} )-\nu (\mathrm {E} )}$. Montrons que, pour de telles fonctions, tout point $x$ est point de continuité, c’est-à-dire peut être enfermé dans un intervalle $\mathrm {I}$ tel que les fonctions soient inférieures en module à $\varepsilon$ pour tout ensemble formé de points de $\mathrm {I}$^[2]. Il suffit de raisonner sur la plus grande, en module, des fonctions considérées, c’est-à-dire sur

${\mathrm {V_{0}(E)} =\mathrm {V(E)} -\pi (\mathrm {E} )-\nu (\mathrm {E} )}$.

1. Exception faite du cas où l’ensemble de définition ${\mathcal {E}}$ serait composé d’un nombre fini ou d’une infinité dénombrable de points.
2. Il y a lieu à démonstration parce que nous posons deux définitions : l’une pour les points de continuité, l’autre pour les points de discontinuité.