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L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

rables, il nous faudra nous appuyer sur la seconde propriété de l’intégrale indéfinie que nous avons nommée l’absolue continuité.

Une fonction est dite absolument continue si, à tout positif, on peut faire correspondre un nombre , tel que la condition

entraîne.

En réalité cette propriété n’a été utilisée que pour des fonctions additives et c’est seulement pour de telles fonctions qu’elle mérite d’être considérée comme définissant un mode de continuité. Soient, en effet, une fonction additive et et deux ensembles. Posons

,,

étant la partie commune à et  ; et d’une part, et d’autre part étant sans point commun.

Convenons de dire que les deux ensembles et sont distants de [1] si l’on a

,.

On a

ainsi, à deux ensembles et , peu distants, correspondent des valeurs de la fonction peu différentes ; il s’agit bien d’une sorte de continuité, et même d’une continuité uniforme[2].

Ce mode de continuité a tout d’abord été remarqué pour les intégrales indéfinies ; on a, en effet, la proposition que voici : L’intégrale d’une fonction sommable , étendue à un ensemble variable , tend vers zéro avec la mesure de . En effet, nous savons qu’on peut choisir de façon que les intégrales , diffèrent de moins de , étant

  1. M. Borel dit que et différent de deux  ; expression meilleure à certains égards.
  2. Une fonction complètement additive d’ensemble mesurable, qui est continue à la façon du texte, c’est-à-dire eu égard à notre notion de distance de deux ensembles, pour tout ensemble mesurable, est nécessairement uniformément continue ; ce mode de continuité uniforme est ce que nous appelons l’absolue continuité.