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CHAPITRE VIII.
de la fonction , étant la fonction déduite de en modifiant celle-ci en ses points de discontinuité, sauf et si ceux-ci sont des points de discontinuité, de façon à obtenir une fonction continue à droite, sauf peut-être en .
Donc on a, entre la variation totale de et la variation totale de , dans ,
.
Entre les variations totales positive et négative de , soient et , et les variations totales positive et négative de , soient et , on a
d’où
,
,
relations qui achèvent de fixer les relations entre et .
On verrait facilement que les fonctions des sauts de , , , , fonctions qui se définissent comme celles de , , , , sont les fonctions d’intervalles qui se déduisent des fonctions des sauts de ou , de , de , de .
II. — Les fonctions absolument continues.
Ayant ainsi étudié le passage de à une fonction d’intervalle , demandons-nous si nous pouvons déduire de , complètement additive, une fonction d’ensemble complètement additive.
Il est clair que est définie pour tous les intervalles fermés ou ouverts ; de l’additivité absolue on déduit la valeur de pour tous les ensembles mesurables B, puisque ces ensembles peuvent être obtenus par des sommes ou des différences à partir des intervalles[1]. Mais pour atteindre tous les ensembles mesu-
- ↑ Seulement tout ensemble mesurable B peut être obtenu de plusieurs manières par des additions et des soustractions, la définition de ne serait donc complète pour les ensembles mesurables B que si nous prouvions qu’elle est exempte de contradiction et cela sans utiliser la condition d’absolue continuité qui va être introduite.