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L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

choisir (p. 57) un système dénombrable d’intervalles non empiétants et tels que la série ${\textstyle \sum \left[\mathrm {F} (\beta _{i})-\mathrm {F} (\alpha _{i})\right]}$ correspondante soit divergente ; or une telle série, d’après la définition même de l’absolue continuité (p. 158), est toujours convergente pour une fonction absolument continue.

Au contraire, il existe des fonctions continues et à variation bornée qui ne sont pas absolument continues ; la fonction $\xi (x)$ de la page 56 en est un exemple. En effet, $\xi (x)$ a une variation totale égale à 1 dans tout système d’intervalles enfermant $\mathrm {Z}$ et cela bien que $\mathrm {Z}$ soit de mesure nulle.

Lorsque l’on considère une fonction $\mathrm {F(X)}$ à variation bornée, pour estimer dans quelle mesure elle s’écarte de l’absolue continuité, il suffit de prendre des ensembles d’intervalles de mesures au plus égales à $\eta$ et de former pour eux les sommes ${+\Sigma '}$ et ${-\Sigma ''}$ des différences $\mathrm {F} (\beta _{i})-\mathrm {F} (\alpha _{i})$ positives et des différences négatives. En choisissant les ${(\alpha _{i},\beta _{i})}$ de toutes les manières, $\Sigma '$ et $\Sigma ''$ ont deux limites supérieures ${\mathrm {M'} (\eta )}$, ${\mathrm {M''} (\eta )}$ qui, quand on fait tendre $\eta$ vers zéro en décroissant, tendent en décroissant vers deux limites $p_{0}$ et $n_{0}$. Il est clair qu’on peut dire que $\mathrm {F(X)}$ s’écarte de l’absolue continuité : dans le sens des variations positives de $p_{0}$, dans le sens des variations négatives de $n_{0}$, au point de vue de la variation totale de ${p_{0}+n_{0}}$.

Ces nombres $n_{0}$ et $p_{0}$ auraient pu être définis en appliquant le procédé précédent non plus à $\mathrm {F(X)}$ mais respectivement à sa variation positive $\mathrm {P(X)}$ et à sa variation négative $\mathrm {N(X)}$ ; c’est-à-dire qu’on aurait remplacé ${+\Sigma '}$, par exemple, par la somme des variations positives de $\mathrm {F(X)}$ dans tous les intervalles ${(\alpha _{i},\beta _{i})}$. En effet, en opérant ainsi nous avons ${\textstyle \sum \left[\mathrm {P} (\beta _{i})-\mathrm {P} (\alpha _{i})\right]}$ ; mais, dans ${(\alpha _{i},\beta _{i})}$, on peut trouver des intervalles non empiétants ${(\alpha _{ij},\beta _{ij})}$ tels que toutes les différences ${\mathrm {F} (\beta _{ij})-\mathrm {F} (\alpha _{ij})}$ soient positives et que leur somme, pour $j$ seul variable, diffère aussi peu que l’on veut de $\mathrm {P} (\beta _{i})-\mathrm {P} (\alpha _{i})$ ; on a donc, en choisissant bien les ${(\alpha _{i,j},\beta _{i,j})}$,

$\textstyle \sum \left[\mathrm {P} (\beta _{i})-\mathrm {P} (\alpha _{i})\right]-\varepsilon <\sum \left[\mathrm {F} (\beta _{i,j})-\mathrm {F} (\alpha _{i,j})\right]\leqq \sum \left[\mathrm {P} (\beta _{i})-\mathrm {P} (\alpha _{i})\right]$

et, comme la mesure de l’ensemble des ${(\alpha _{i,j},\beta _{i,j})}$ est au plus celle des ${(\alpha _{i},\beta _{i})}$, les deux procédés de définition de $p_{0}$ sont bien équivalents. Ajoutons qu’on peut évidemment exiger que chaque système d’intervalles employé n’en contienne qu’un nombre fini.