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L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.
choisir (p. 57) un système dénombrable d’intervalles non empiétants et tels que la série
correspondante soit divergente ; or une telle série, d’après la définition même de l’absolue continuité (p. 158), est toujours convergente pour une fonction absolument continue.
Au contraire, il existe des fonctions continues et à variation bornée qui ne sont pas absolument continues ; la fonction
de la page 56 en est un exemple. En effet,
a une variation totale égale à 1 dans tout système d’intervalles enfermant
et cela bien que
soit de mesure nulle.
Lorsque l’on considère une fonction
à variation bornée, pour estimer dans quelle mesure elle s’écarte de l’absolue continuité, il suffit de prendre des ensembles d’intervalles de mesures au plus égales à
et de former pour eux les sommes
et
des différences
positives et des différences négatives. En choisissant les
de toutes les manières,
et
ont deux limites supérieures
,
qui, quand on fait tendre
vers zéro en décroissant, tendent en décroissant vers deux limites
et
. Il est clair qu’on peut dire que
s’écarte de l’absolue continuité : dans le sens des variations positives de
, dans le sens des variations négatives de
, au point de vue de la variation totale de
.
Ces nombres
et
auraient pu être définis en appliquant le procédé précédent non plus à
mais respectivement à sa variation positive
et à sa variation négative
; c’est-à-dire qu’on aurait remplacé
, par exemple, par la somme des variations positives de
dans tous les intervalles
. En effet, en opérant ainsi nous avons
; mais, dans
, on peut trouver des intervalles non empiétants
tels que toutes les différences
soient positives et que leur somme, pour
seul variable, diffère aussi peu que l’on veut de
; on a donc, en choisissant bien les
,
![{\displaystyle \textstyle \sum \left[\mathrm {P} (\beta _{i})-\mathrm {P} (\alpha _{i})\right]-\varepsilon <\sum \left[\mathrm {F} (\beta _{i,j})-\mathrm {F} (\alpha _{i,j})\right]\leqq \sum \left[\mathrm {P} (\beta _{i})-\mathrm {P} (\alpha _{i})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/003702aee50b472ffc7bd507ea26e3eacb332c40)
et, comme la mesure de l’ensemble des
est au plus celle des
, les deux procédés de définition de
sont bien équivalents. Ajoutons qu’on peut évidemment exiger que chaque système d’intervalles employé n’en contienne qu’un nombre fini.