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CHAPITRE IX.

LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES.
L’EXISTENCE DES DÉRIVÉES.

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I. — La recherche des fonctions primitives.

Soit ${\mathcal {F}}(x)$ une fonction ayant une dérivée $f(x)$, nous savons que $f(x)$ est mesurable, car c’est une fonction de première classe (p. 99). Supposons que $f(x)$ soit bornée, alors ${r[{\mathcal {F}}(x),x,x+h]}$ est aussi borné, quels que soient $x$ et $h$. Et puisque $f(x)$ est la limite pour ${h=0}$ de ${r[{\mathcal {F}}(x),x,x+h]}$ on peut écrire, d’après un théorème énoncé à la page 125,

$\int _{a}^{x}f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{h=0}{\frac {\int _{a}^{x}[{\mathcal {F}}(x+h)-{\mathcal {F}}(x)]\,\mathrm {d} x}{h}}={\mathcal {F}}(x)-{\mathcal {F}}(a)$,

car ${\mathcal {F}}(x)$ est une fonction continue.

Donc les fonctions d’une variable intégrales indéfinies d’une dérivée sont ses fonctions primitives. Nous avons résolu le problème fondamental du calcul intégral pour les fonctions bornées. De plus, nous avons un procédé régulier de calcul permettant de reconnaître si une fonction bornée est ou non une dérivée^[1].

Pour aller plus loin, démontrons que les nombres dérivés d’une fonction continue sont mesurables et même mesurables B. Considérons pour cela une suite de fonctions $u_{1}$, $u_{2}$, …, et les fonctions ${\overline {u}}$, ${\underline {u}}$ égales, pour chaque valeur de $x$, à la plus grande et à la plus petite des limites des $u_{n}$, limites prises pour $x$ constant et $n$ croissant indéfiniment ; ce sont les enveloppes d’indétermination de la limite des $u$. Voici comment on peut obtenir l’enve-

1. Comparez avec la page 89.