Une fonction continue et à variation bornée a ses nombres dérivés finis presque partout[1] ; ses nombres dérivés sont sommables dans l’ensemble des points où ils sont finis ; ses trois variations totales , , vérifient les relations
étant l’un quelconque des quatre nombres dérivés ; les points où est infini étant exclus des ensembles ou intervalles d’intégration.
Supposons maintenant le nombre dérivé supérieur à droite sommable sur l’ensemble et supposons
- ↑ Nous conviendrons de dire qu’une propriété a lieu presque partout dans un intervalle , ou sur un ensemble , si les points de ou de en lesquels elle n’a pas lieu ou bien n’existent pas, ou bien forment un ensemble de mesure nulle.
Cette locution, introduite dans la première édition de ce Livre, a été généralement adoptée. Si l’on se rappelle que M. Denjoy n’a pas trouvé suffisamment précise et qu’il a rejeté l’expression : le point est point de l’ensemble , on ne s’étonnera pas qu’il ait jugé inadmissible la locution presque partout qui, à son avis, a deux sens : l’un qualitatif ou descriptif, l’autre quantitatif ou métrique. Je pense qu’il faut entendre par là qu’on aurait pu convenir de donner à presque partout la signification suivante : exception faite des points formant un ensemble partout non dense. Certes ; mais M. Denjoy dit qu’une propriété a lieu sur une épaisseur pleine quand je dis qu’elle a lieu presque partout. Épaisseur pleine n’aurait-elle pas pu recevoir une autre signification que celle qu’il a plu à M. Denjoy de lui donner ?
Presque partout serait inadmissible si, dans la langue usuelle, cette expression avait un sens précis, mais cela n’est pas ; de sorte que le lecteur, en présence de l’énoncé précédent par exemple, ne peut lui donner aucun sens précis sans se reporter à la définition posée pour presque partout. Aucune erreur n’est donc possible.
Obliger le lecteur à se reporter à une définition a son inconvénient. Je l’accorderais volontiers à n’importe qui, sauf à M. Denjoy qui a utilisé dans ses Mémoires un nombre formidable de mots nouveaux. Et ce n’est pas diminuer l’inconvénient que de modifier, fût-ce même pour le perfectionner, un vocabulaire dont l’usage commence à se répandre.