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LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES. L’EXISTENCE DES DÉRIVÉES.

tend vers ${\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{ip})}$, on a

$\mathrm {P} \geqq \int _{a}^{b}{\frac {1}{2}}\left[\Lambda f+|\Lambda f|\right]\,\mathrm {d} x+\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{ip})$.

En rapprochant les deux inégalités de sens inverses obtenues, on conclut finalement

$\mathrm {P} =\int _{a}^{b}{\frac {1}{2}}\left[\Lambda f+|\Lambda f|\right]\,\mathrm {d} x+\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{ip})$.

Donc ${\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{ip})}$, qui désigne l’une quelconque des limites de $\mathrm {P(I)}$, a une valeur déterminée ; nous pouvons énoncer ce résultat comme il suit :

Si ${\Lambda f}$ est l’un des nombres dérivés d’une fonction continue $f(x)$, pour que $f(x)$ soit à variation bornée il faut et il suffit que ${\Lambda f}$ soit sommable dans l’ensemble des points où il est fini et positif, que l’ensemble $\mathrm {E} ^{ip}$ des points ou ${\Lambda f}$ est infini positif soit de mesure nulle et qu’il puisse être enfermé dans des intervalles $\mathrm {I}$ fournissant une somme de variations totales positives $\mathrm {P(I)}$ qui soit bornée.

$\mathrm {P(I)}$ tend alors vers une limite finie et déterminée, quand on fait varier $\mathrm {I}$ de façon que sa mesure tende vers zéro ; cette limite est la différence entre la variation totale positive de $f(x)$ dans l’intervalle considéré et l’intégrale de ${\Lambda f}$ dans l’ensemble des points où il est positif.

On a, bien entendu, un énoncé analogue en changeant positif en négatif, $\mathrm {E} ^{ip}$ en $\mathrm {E} ^{in}$, $\mathrm {P}$ en $\mathrm {N}$, qu’exprime l’égalité

$\mathrm {N} =\int _{a}^{b}{\frac {1}{2}}\left[|\Lambda f|-\Lambda f|\right]\,\mathrm {d} x+\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{in})$.

De $\mathrm {P}$ et $\mathrm {N}$, par addition et soustraction, nous déduisons la variation totale $\mathrm {V}$ et l’accroissement ${f(b)-f(a)}$ de $f(x)$ dans ${(a,b)}$. L’ensemble ${\mathrm {E} ^{i}=\mathrm {E} ^{ip}+\mathrm {E} ^{in}}$ des points où ${\Lambda f}$ est infini, est de mesure nulle. Tout ensemble $\mathrm {I}$ d’intervalles non empiétants enfermant $\mathrm {E} ^{i}$, et dont la mesure tend vers zéro, peut donc servir simultanément au calcul de ${\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{ip})}$, de ${\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{in})}$ que l’on peut noter en conséquence ${\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{i})}$, ${\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{i})}$ ; la limite de la somme $\mathrm {V(I)}$ des variations totales dans les intervalles de $\mathrm {I}$ sera ${\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{i})+\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{i})=\mathrm {V} (\mathrm {E} ^{i})}$ ; parce que, dans un intervalle $\delta$, ${\mathrm {P} (\delta )+\mathrm {N} (\delta )=\mathrm {V} (\delta )}$. Mais,