tend vers , on a
En rapprochant les deux inégalités de sens inverses obtenues, on conclut finalement
Donc , qui désigne l’une quelconque des limites de , a une valeur déterminée ; nous pouvons énoncer ce résultat comme il suit :
Si est l’un des nombres dérivés d’une fonction continue , pour que soit à variation bornée il faut et il suffit que soit sommable dans l’ensemble des points où il est fini et positif, que l’ensemble des points ou est infini positif soit de mesure nulle et qu’il puisse être enfermé dans des intervalles fournissant une somme de variations totales positives qui soit bornée.
tend alors vers une limite finie et déterminée, quand on fait varier de façon que sa mesure tende vers zéro ; cette limite est la différence entre la variation totale positive de dans l’intervalle considéré et l’intégrale de dans l’ensemble des points où il est positif.
On a, bien entendu, un énoncé analogue en changeant positif en négatif, en , en , qu’exprime l’égalité
De et , par addition et soustraction, nous déduisons la variation totale et l’accroissement de dans . L’ensemble des points où est infini, est de mesure nulle. Tout ensemble d’intervalles non empiétants enfermant , et dont la mesure tend vers zéro, peut donc servir simultanément au calcul de , de que l’on peut noter en conséquence , ; la limite de la somme des variations totales dans les intervalles de sera ; parce que, dans un intervalle , . Mais,