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CHAPITRE IX.

dans ${\delta =(\alpha ,\beta )}$, on a, pour l’accroissement ${\mathrm {A} (\delta )}$,

$\mathrm {A} (\delta )=f(\beta )-f(\alpha )=\mathrm {P} (\delta )-\mathrm {N} (\delta )$ ;

donc on a pour la somme des accroissements de $f(x)$ dans les intervalles de $\mathrm {I}$,

$\mathrm {A} (\mathrm {I} )=\mathrm {P} (\mathrm {I} )-\mathrm {N} (\mathrm {I} )$,

d’où, pour $\mathrm {E} ^{i}$, par un passage à la limite,

$\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{i})-\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{i})=\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{ip})-\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{in})=\mathrm {A} (\mathrm {E} ^{i})$.

Ainsi, si ${\Lambda f}$ est l’un des nombres dérivés d’une fonction $f(x)$ continue et à variation bornée dans un intervalle ${(a,b)}$, ses trois variations et son accroissement dans ${(a,b)}$ sont donnés par les formules

${\begin{aligned}\mathrm {P} &=\int _{a}^{b}{\frac {1}{2}}\left[|\Lambda f|+\Lambda f\right]\,\mathrm {d} x+\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{i}){\text{,}}\\\mathrm {N} &=\int _{a}^{b}{\frac {1}{2}}\left[|\Lambda f|-\Lambda f\right]\,\mathrm {d} x+\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{i}){\text{,}}\\\mathrm {V} &=\int _{a}^{b}|\Lambda f|\,\mathrm {d} x+\mathrm {V} (\mathrm {E} ^{i}){\text{,}}\\\mathrm {A} &=f(b)-f(a)=\int _{a}^{b}\Lambda f\,\mathrm {d} x+\mathrm {A} (\mathrm {E} ^{i}){\text{.}}\end{aligned}}$

${\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{i})}$, ${\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{i})}$, ${\mathrm {V} (\mathrm {E} ^{i})}$, ${\mathrm {A} (\mathrm {E} ^{i})}$ sont les limites, finies et bien déterminées, vers lesquelles tendent les sommes des diverses variations totales et des accroissements de $f(x)$ dans des intervalles $\mathrm {I}$, non empiétants et enfermant l’ensemble $\mathrm {E} ^{i}$ des points où ${\Lambda f}$ est infinie, quand on fait varier le système $\mathrm {I}$ d’intervalles, de façon que ${m(\mathrm {I} )}$ tende vers zéro.

Laissons pour un instant cet énoncé général et attachons-nous au cas où $\mathrm {E} ^{i}$ n’existe pas^[1] ; les nombres ${\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{i})}$, ${\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{i})}$, ${\mathrm {V} (\mathrm {E} ^{i})}$,

1. C’est pour éviter des redites que l’ordre du texte a été adopté, mais il convient de remarquer combien les considérations précédentes se simplifient quand on se borne au cas d’un nombre dérivé ${\Lambda f}$ toujours fini ; on notera en particulier que, alors, la notion de fonction d’ensemble n’y intervient plus.

   L’ordre historique est inverse de celui du texte ; les théorèmes relatifs au cas ${\Lambda f}$ toujours fini figuraient dans la première édition de ce livre ; l’idée d’évaluer la différence ${f(b)-f(a)-\int _{a}^{b}\Lambda f\,\mathrm {d} x}$ comme limite de $\mathrm {A(I)}$ est due à M. de la Vallée Poussin, qui a obtenu le théorème général, tout d’abord pour les fonctions monotones (Cours d’Analyse infinitésimale, 2^e édition, t. I, p. 269).