184
CHAPITRE IX.
mais
est au plus égale à
et l’intégrale du second membre tend vers zéro avec
. Donc, quand
tend vers zéro, la plus grande des limites de
est
et cette plus grande limite est atteinte quand on prend
enfermant
. En d’autres termes :
est l’ensemble des singularités de la fonction
représentant la variation totale positive de
à
. La fonction des singularités
de la fonction
est
![{\displaystyle \mathrm {P} _{s}(x)=\mathrm {P} (x)-\int _{a}^{x}{\frac {1}{2}}[\Lambda f+|\Lambda f|]\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06df9bef5297aa32c71564be90a2e6c177f80fc0)
.
On a de même, avec des notations dont le sens est clair,
![{\displaystyle \mathrm {N} _{s}(x)=\mathrm {N} (x)-\int _{a}^{x}{\frac {1}{2}}[|\Lambda f|-\Lambda f]\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1444bcf01a9b85b4cdc756da72d083dda2290b05)
;
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {V} _{s}(x)&=\mathrm {V} (x)-\int _{a}^{x}|\Lambda f|\,\mathrm {d} x{\text{,}}\\f_{s}(x)&=f(x)-f(a)-\int _{a}^{x}\Lambda f\,\mathrm {d} x{\text{ ;}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2730163744824d7fa1391b10b9c268db9e14e46d)
formules qui font connaître les fonctions des singularités de
,
,
,
. Quant à l’ensemble des singularités, c’est
pour
,
pour
, c’est
pour
,
,
,
.
On a en particulier
![{\displaystyle \mathrm {P} _{s}(b)=\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d4a935a472b8cf58421afabe3d569efe8af7b4)
,
![{\displaystyle \mathrm {N} _{s}(b)=\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdbaa153d6367e43f35391bd50ee9b98f7225bf7)
,
![{\displaystyle \mathrm {V} _{s}(b)=\mathrm {V} (\mathrm {E} ^{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2d40aa34e412fee61954d513a278f3aed93f311)
,
![{\displaystyle f_{s}(b)=\mathrm {A} (\mathrm {E} ^{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc914f5b3b0e5614888373e4e51ed49c4f7272fa)
,
ces nombres ne sont donc tous nuls que dans le cas, déjà examiné, où
est absolument continue[1].
Nous avons décomposé précédemment (p. 163) une fonction continue à variation bornée en sa fonction des singularités et un noyau absolument continu, soit
le noyau de
; nous venons de prouver que l’on a
![{\displaystyle \mathrm {AC} (x)=f(a)+\int _{a}^{x}\Lambda f\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/166d09448493ac1e8fe626ac17e3db31148e4034)
.
et des formules analogues pour les noyaux de
,
,
.
- ↑ Pour
non absolument continue, un des nombres
,
,
peut être nul, mais un seulement.