CHAPITRE X.
LA TOTALISATION.
I. — Les fonctions de première classe.
Nous allons démontrer le théorème que nous avons déjà énoncé à la page 99 :
Pour qu’une fonction soit de classe un au plus, il faut et il suffit qu’elle soit ponctuellement discontinue pour tout ensemble parfait.
Ce théorème, dû à M. R. Baire[1], est étranger à notre sujet mais, d’une part, nous utiliserons la condition nécessaire qu’il exprime, d’autre part, et surtout, le procédé transfini qui nous servira à prouver que la condition énoncée est suffisante, est celui-là même qui a permis à M. Denjoy de résoudre complètement le problème des fonctions primitives[2]. Aussi nous allons dorénavant utiliser constamment les nombres transfinis ; les lecteurs qui ne seraient pas familiarisés avec l’emploi de ces nombres feront bien d’étudier la Note placée à la fin du Volume avant de lire ce Chapitre.
Démontrons que la condition est nécessaire, c’est-à-dire que, si est la limite d’une suite convergente de fonctions , , … continues, et si est un ensemble parfait, il y a des points de en lesquels la fonction , considérée seulement sur , est continue. Désignons par l’ensemble des points de en lesquels on a , étant un nombre positif arbitrairement choisi, et par l’ensemble des points communs à , , , ….
