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L’INTÉGRALE AVANT RIEMANN.

Le nombre $\mathrm {S(X)}$ étant maintenant défini d’une manière précise, on démontre l’existence de la fonction primitive de $f(x)$ sans difficulté. En effet, on a

${\frac {\mathrm {S} (x_{0}+h)-S(x_{0})}{h}}={\frac {1}{h}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+h}f(x)\,\mathrm {d} x=f(x_{0}+\theta h)$,

égalité qui démontre que la fonction $\mathrm {S(X)}$ est continue et a pour dérivée $f(x)$.

La fonction $\mathrm {S(X)}$ qui figure dans la démonstration précédente ou plus exactement la fonction

$\mathrm {S(X)+K} =\mathrm {K} +\int _{a}^{\mathrm {X} }f(x)\,\mathrm {d} x=\mathrm {K_{1}} +\int _{\alpha }^{\mathrm {X} }f(x)\,\mathrm {d} x$,

dans laquelle $\mathrm {K}$ et $\mathrm {K} _{1}$ sont des constantes quelconques et $\alpha$ une valeur de $x$ prise dans l’intervalle où $f(x)$ est définie, s’appelle l’intégrale indéfinie de la fonction $f(x)$ et se note ${\int f(x)\,\mathrm {d} x}$. On voit que l’intégrale indéfinie d’une fonction $f(x)$ est la fonction $\mathrm {F} (x)$ la plus générale telle que l’on ait, quels que soient $\alpha$ et $\beta$ dans l’intervalle où $f(x)$ est définie,

(1)

$\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )=\int _{\alpha }^{\beta }f(x)\,\mathrm {d} x$.

On voit aussi que, pour les fonctions continues, il y a identité entre les intégrales indéfinies et les fonctions primitives^[1].

II. — L’intégration des fonctions discontinues.

Dans ce qui précède, l’intégrale définie apparaît comme un élément permettant de calculer la fonction primitive ; dans la pratique, les fonctions primitives servent, au contraire, au calcul des intégrales définies. Ces intégrales définies, qui sont des limites de sommes dont le nombre des termes augmente indéfiniment tandis que la valeur absolue de ces termes tend vers zéro, se ren-

1. Cela ne serait plus vrai si l’on n’introduisait pas la constante $\mathrm {K}$ dans la définition de l’intégrale indéfinie.