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CHAPITRE I.
et formons la somme
![{\displaystyle \mathrm {S} =(a_{1}-a_{0})f(x_{1})+(a_{2}-a_{1})f(x_{2})+\ldots +(a_{n}-a_{n-1})f(x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/625e10f2b41ddfb5a9488b8109e061bbe70786b6)
,
où
est un nombre quelconque compris entre
et
. On démontre que
tend vers un nombre déterminé
quand le maximum de
tend vers zéro d’une manière quelconque.
Le nombre
ainsi obtenu s’appelle l’intégrale définie de la fonction
dans l’intervalle
. Depuis Fourier, on le représente par la notation
.
Ce symbole n’a jusqu’à présent de sens que dans les intervalles positifs
,
; par définition, on pose
![{\displaystyle \int _{a}^{\mathrm {X} }f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\mathrm {X} }^{a}f(x)\,\mathrm {d} x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7a0683deec3f8b5348acc099c03157d2e4edc02)
.
Il est évident que l’on a, quels que soient
,
,
,
![{\displaystyle \int _{a}^{b}+\int _{b}^{c}+\int _{c}^{a}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80dfb4def47238ca3020d973bcd19345f31d3606)
.
Remarquons encore que si
et
sont les limites supérieure et inférieure de
dans
,
est comprise entre
et
. La fonction continue
prenant toutes les valeurs entre
et
, y compris les valeurs
et
, on peut écrire
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=(b-a)f(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d90f2dd155adfeda12398e0f8c818f420e1e5bd)
,
étant compris entre
et
[1] ; c’est le théorème des accroissements finis.
- ↑ Cette démonstration n’exclut pas les égalités
,
. Dans certains cas il est bon de prouver qu’on peut choisir
différent de
et
; la démonstration est immédiate.
Le théorème considéré est le théorème des accroissements finis pour la fonction
![{\displaystyle \mathrm {S} (x)={\text{const.}}+\int _{a}^{x}f(x)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31cc063858bdb4415b105b808d2148ff41c4a6c4)
;
il fournit, en effet, une expression de l’accroissement
subie par
quand on passe de
à
.