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CHAPITRE X.

nant en particulier tous les termes provenant des intervalles ${(\alpha ,\beta )}$ de longueur supérieure à $\lambda$, donc tendant vers ${\textstyle \sum [\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )]}$ quand $\lambda$ tend vers zéro ;

d’autre part, la mesure des longueurs des intervalles de la seconde sorte, c’est-à-dire une mesure tendant vers ${m({\mathcal {E}})}$ quand $\lambda$ tend vers zéro, multipliée par un nombre compris entre $m$ et $\mathrm {M}$.

La somme de ces deux contributions est

$\textstyle \sum [\Phi (\beta )-\Phi (\alpha )]+f_{0}\,m({\mathcal {E}})$

à

$\eta \textstyle \sum (\beta -\alpha )+\eta \,m(\mathrm {E} )=\eta \,(b-a)$

près. L’énoncé est légitimé.

Nous avons vu qu’un ensemble fermé ${\mathcal {E}}$ étant donné, il était possible de déterminer un intervalle $i$ contenant des points de ${\mathcal {E}}$ à son intérieur, dans lequel $f(x)$ est constante à $\eta$ près sur ${\mathcal {E}}$ et pour lequel la somme ${\textstyle {\sum }_{i}[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )]}$, étendue aux parties des intervalles contigus à ${\mathcal {E}}$ qui sont situées dans $i$, est absolument convergente. Alors, si l’on connaît des fonctions ${\Phi (x)}$ pour chaque intervalle contigu à ${\mathcal {E}}$, la somme ${\textstyle {\sum }_{i}[\Phi (\beta )-\Phi (\alpha )]}$ est aussi absolument convergente, et nous sommes dans les conditions d’application du théorème précédent.

En d’autres termes, dès que la première des conditions du précédent énoncé est remplie, les points de ${\mathcal {E}}$ qui ne sont pas à l’intérieur d’intervalles $i$ dans lesquels les trois conditions de cet énoncé sont remplies, forment un ensemble, nécessairement fermé, qui est partout non dense sur ${\mathcal {E}}$. Par suite, si l’on a pu déterminer des fonctions $\Phi$ pour tous les intervalles contigus à un ensemble fermé ${\mathcal {E}}$, on peut déterminer des fonctions $\Phi$ pour tous les intervalles contigus à un ensemble fermé ${\mathcal {H}}$, formé de points de ${\mathcal {E}}$ et partout non dense sur ${\mathcal {E}}$.

Il est dès lors clair que cet énoncé nous permet la construction de ${\Phi (x)}$ par récurrence transfinie :

L’opération $\mathrm {O} _{1}$ sera celle dans laquelle on prendra ${(a,b)}$ pour ensemble ${\mathcal {E}}$, l’ensemble ${\mathcal {H}}$ sera un ensemble ${\mathcal {E}}_{1}$ qui contiendra tous les points en lesquels l’oscillation de $f(x)$ est supérieure à $\eta$ et certains de ceux en lesquels l’oscillation est égale à $\eta$. $\mathrm {O} _{1}$ fera connaître ${\Phi (x)}$ dans tout intervalle ne contenant pas à son intérieur de point de ${\mathcal {E}}_{1}$.