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CHAPITRE X.

Or, M. Denjoy a obtenu, relativement à tout nombre dérivé une proposition qui, pour la recherche de la fonction primitive, remplace exactement la précédente et que l’on peut énoncer :

Lorsque le nombre dérivé supérieur à droite ${\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)}$ d’une fonction continue ${\mathrm {F} (x)}$ est partout fini ou du moins jamais égal à $+\infty$, il est ponctuellement non borné supérieurement sur tout ensemble fermé.

Ou, d’une façon plus précise : Lorsque le nombre dérivé supérieur à droite ${\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)}$ d’une fonction continue ${\mathrm {F} (x)}$ n’est égal à $+\infty$ en aucun point d’un ensemble fermé $\mathrm {E}$, il existe un nombre positif $\mathrm {M}$ et un intervalle $\mathrm {I}$ contenant à son intérieur des points de $\mathrm {E}$ et tels que, pour tout intervalle ${(\alpha ,\beta )}$ dont l’origine est point de $\mathrm {E}$ et de $\mathrm {I}$, on ait

$r[\mathrm {F} (x),\alpha ,\beta ]<\mathrm {M}$.

Il est clair que le second énoncé entraîne le premier^[1] ; il est clair aussi que, lorsque nous les aurons démontrés pour tout ensemble parfait, ils seront prouvés par cela même pour tout ensemble fermé $\mathrm {E}$ puisque tout point isolé de $\mathrm {E}$ est point en lequel $\Lambda _{d}$ n’est pas égal à $+\infty$ et par suite peut être enfermé dans un intervalle $\mathrm {I}$ satisfaisant aux conditions du second énoncé.

Démontrons le second énoncé^[2].

Désignons par $\mathrm {E} _{n,p}$ l’ensemble des points $x_{0}$ d’un ensemble parfait $\mathrm {E}$ pour lesquels on a

$r[\mathrm {F} (x),x_{0},x_{0}+h]\leqq \mathrm {n}$,

dès que l’on a ${h\geqq {\frac {1}{p}}}$ ; $\mathrm {E} _{n,p}$ est un ensemble fermé, puisque ${r[\mathrm {F} (x),x_{0},x_{0}+h]}$ est, pour ${h\geqq {\frac {1}{p}}}$, une fonction continue de l’ensemble des deux variables $x_{0}$ et $h$ dont dépend ce rapport.

L’ensemble $\mathrm {E} _{n}$ des points communs à tous les $\mathrm {E} _{n,p}$, de même indice $n$, est donc aussi un ensemble fermé. $\mathrm {E}$ est la somme des $\mathrm {E} _{n}$ puisque ${\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)}$ est supposé fini en tout point de $\mathrm {E}$ ou du moins non égal à $+\infty$. Donc, en raisonnant comme à la page 203, on

1. Ce second énoncé précise le premier comme celui de la page 203 précise la condition nécessaire pour qu’une fonction soit de classe un.
2. Les deux énoncés précédents remplacent la proposition que M. Denjoy appelle le premier théorème fondamental (descriptif) relatif aux nombres dérivés.