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LA TOTALISATION.
voit qu’il existe un intervalle dans lequel est identique à l’un, , des ; alors, pour tout point appartenant à la fois à et à , on a
,
quel que soit ; ce qui démontre le théorème.
Nous utiliserons aussi la propriété suivante[1] :
Si le rapport relatif à une fonction continue est borné supérieurement uniformément pour tous les points appartenant à un ensemble fermé , ,
la série , étendue aux intervalles contigus à est alors convergente,
le nombre dérivé supérieur à droite n’est, sur , égal à qu’aux points d’un ensemble de mesure nulle, .
a, dans l’ensemble , une intégrale déterminée, finie, et l’on a
.
Lorsque n’existe pas, c’est le signe égal qui convient.
Désignons par l’ensemble des points de en lesquels on a
,
étant arbitrairement choisi positif.
Soit la fonction continue égale à aux points de et linéaire dans les intervalles contigus à . Pour à l’origine ou à l’intérieur d’un tel intervalle , on a
,
si est la limite supérieure dont parle l’énoncé. Aux points de , qui ne sont pas origines d’intervalles contigus à , on a d’ailleurs
.
étant borné supérieurement dans tout , est à variation bornée et l’on a, en désignant par , et l’ensemble
- ↑ Cette propriété remplacera ici le second théorème fondamental (métrique) relatif aux nombres dérivés, de M. Denjoy.