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CHAPITRE X.
En effet, s’il n’en était pas ainsi, les points de qui ne seraient pas intérieurs à des intervalles dans lesquels on aurait
,
formeraient un ensemble fermé . Un intervalle contigu à est la somme d’une infinité dénombrable d’intervalles sans points intérieurs communs. Pour chacun de ces intervalles on a l’égalité précédente. La somme de toutes ces égalités peut être effectuée puisque, par hypothèse, et existent. Et ceci prouve que tout intervalle contigu à est lui-même un intervalle .
Or, des théorèmes de ce paragraphe, il résulte que l’on peut trouver un intervalle contenant à son intérieur des points de et pour lequel est borné quand est point de , de sorte que l’on a
désignant les intervalles contigus à et situés dans . Chaque étant un intervalle , on a
.
D’où résulte
;
ainsi serait un intervalle , ce qui est contraire à la définition de .
Il est clair que nos deux nouveaux énoncés sont entièrement analogues à ceux sur lesquels nous avons basé la construction d’une fonction à partir de sa dérivée. On peut donc, de même, obtenir la fonction primitive d’un nombre dérivé borné par récurrence transfinie.