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LA TOTALISATION.
Définissons comme il a été fait au Chapitre IX, pages 176 et suivantes, des ensembles et par la considération de nombres , , . Mais en constituant cette fois les à l’aide des seuls points de . Les intervalles de la chaîne ayant pour origines des points de sont choisis satisfaisant aux trois conditions indiquées au Chapitre IX. L’intervalle ayant pour origine un point d’un intervalle contigu à est l’intervalle .
Les intervalles de la première espèce ont, dans l’expression de , une contribution qui, lorsque, , , tendent vers zéro, tend vers .
Un intervalle de la seconde espèce fournit comme contribution
;
est au plus égal à , donc la somme des termes est au plus (voir, au Chapitre IX, la signification de ) et par suite a des limites nulles ou négatives quand , , tendent vers zéro.
Par suite on a
.
On a donc bien, conformément à l’énoncé,
.
De ces deux théorèmes il résulte en particulier que : si est un ensemble fermé aux points duquel est fini, il existe un intervalle , contenant des points de à son intérieur, dans lequel est sommable sur et pour lequel la série des accroissements de dans les intervalles contigus à est absolument convergente.
Montrons, sans supposer cette fois bornée supérieurement dans , que l’accroissement de dans est la somme de l’intégrale de sur la partie de située dans et de la série relative à et , ce que nous noterons
.