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CHAPITRE X.
tous les 
d’indice inférieur à 
, 
et 
sont aussi identiques. En continuant, on voit qu’il y a identité entre les 
et les 
de même indice.
On voit en même temps que l’on a : 
presque en tout point extérieur à 
; 
presque en tout point de 
, 
étant la fonction 
construite à l’aide de ; 
presque en tout point de 
, 
étant construite à l’aide de 
, etc. Or, 
est la somme des ensembles 
en nombre fini ou dénombrable ; donc, finalement, 
est déterminé presque partout par sa totale indéfinie 
[1].
Et cette détermination est toujours faite par des dérivations. Examinons de plus près ces dérivations. Dériver en un point 
de 
revient à dériver 
en ce point, mais en ne tenant compte que des points de ; c’est-à-dire à étudier le rapport ![{\displaystyle {r[\mathrm {F} (x),x_{0},x_{0}+h]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62c8452cd4478e2098e4f6fe9262de6ef02224f4)
dans lequel 
est aussi point de ; c’est ce que nous appelons dériver sur . Donc, quel que soit l’ensemble fermé , il existe un intervalle 
contenant des points de et tel que, dans , 
soit presque partout sur la dérivée prise sur de sa totale indéfinie.
À la vérité, cet énoncé n’est démontré par ce qui précède que si est l’un des ensembles , , … ; mais si 
est le plus petit indice tel que ne soit pas tout entier dans 
, c’est qu’il y a un intervalle 
contenant une partie 
de qui soit contenue dans et par suite, presque partout sur , est la dérivée de 
, donc la dérivée sur de .
On remplacera avec avantage cet énoncé par le suivant dû a M. Khintchine, et basé sur la notion de dérivée approximative.
Une fonction continue est dite posséder en une dérivée approximative égale 
, si est la dérivée de sur un ensemble de densité 1 au point .
- ↑ On arrivera plus vite à ce résultat en prouvant qu’une fonction non presque partout nulle a une totale indéfinie non identiquement nulle. Dans tout ce Chapitre j’ai préféré, malgré les longueurs qui en résultent, l’examen analytique du procédé opératoire transfini de la totalisation aux raisonnements synthétiques, plus rapides mais qui, à mon avis, font comprendre moins profondément.
