240
CHAPITRE X.
tous les
d’indice inférieur à
,
et
sont aussi identiques. En continuant, on voit qu’il y a identité entre les
et les
de même indice.
On voit en même temps que l’on a :
presque en tout point extérieur à
;
presque en tout point de
,
étant la fonction
construite à l’aide de
;
presque en tout point de
,
étant construite à l’aide de
, etc. Or,
est la somme des ensembles
en nombre fini ou dénombrable ; donc, finalement,
est déterminé presque partout par sa totale indéfinie
[1].
Et cette détermination est toujours faite par des dérivations. Examinons de plus près ces dérivations. Dériver
en un point
de
revient à dériver
en ce point, mais en ne tenant compte que des points de
; c’est-à-dire à étudier le rapport
dans lequel
est aussi point de
; c’est ce que nous appelons dériver
sur
. Donc, quel que soit l’ensemble fermé
, il existe un intervalle
contenant des points de
et tel que, dans
,
soit presque partout sur
la dérivée prise sur
de sa totale indéfinie.
À la vérité, cet énoncé n’est démontré par ce qui précède que si
est l’un des ensembles
,
, … ; mais si
est le plus petit indice tel que
ne soit pas tout entier dans
, c’est qu’il y a un intervalle
contenant une partie
de
qui soit contenue dans
et par suite, presque partout sur
,
est la dérivée de
, donc la dérivée sur
de
.
On remplacera avec avantage cet énoncé par le suivant dû a M. Khintchine, et basé sur la notion de dérivée approximative.
Une fonction continue
est dite posséder en
une dérivée approximative égale
, si
est la dérivée de
sur un ensemble de densité 1 au point
.
- ↑ On arrivera plus vite à ce résultat en prouvant qu’une fonction non presque partout nulle a une totale indéfinie non identiquement nulle. Dans tout ce Chapitre j’ai préféré, malgré les longueurs qui en résultent, l’examen analytique du procédé opératoire transfini de la totalisation aux raisonnements synthétiques, plus rapides mais qui, à mon avis, font comprendre moins profondément.