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CHAPITRE I.

Pour des recherches relatives à la théorie des fonctions et en particulier pour l’étude des séries trigonométriques, Lejeune-Dirichlet a étendu la notion d’intégrale. Les recherches de Lejeune-Dirichlet, qu’il avait annoncées lui-même, n’ont jamais été publiées ; mais, d’après Lipschitz, on peut les résumer comme il suit.

Soit une fonction $f(x)$ définie dans un intervalle fini ${(a,b)}$, dans lequel il faut l’intégrer ; soit $e$ l’ensemble des points de discontinuité de $f(x)$. Si $e$ ne contient qu’un nombre fini de points, nous appliquons les définitions de Cauchy.

D’après Lipschitz, le cas qu’étudie Dirichlet est celui où le dérivé $e'$ de $e$ ne contient qu’un nombre fini de points^[1], comme cela se présente, par exemple, pour la fonction ${\frac {1}{\sin {\frac {1}{x}}}}$, où $e'$ ne contient que ${x=0}$.

Les points de $e'$ divisent alors ${(a,b)}$ en un nombre fini d’intervalles partiels, soit ${(\alpha ,\beta )}$ l’un d’eux. Dans ${(\alpha +h,\beta -k)}$, il n’y a qu’un nombre fini de points de $e$. Si, dans cet intervalle, les définitions de Cauchy ne s’appliquent pas, on dira que la fonction n’a pas d’intégrale dans ${(a,b)}$. Si au contraire elles s’appliquent, on considère l’intégrale $\int _{\alpha +h}^{\beta -k}f(x)\,\mathrm {d} x$ et l’on fait tendre simultanément $h$ et $k$ vers zéro suivant des lois quelconques. Si l’on n’obtient pas une limite déterminée, f(x) n’a pas d’intégrale dans ${(a,b)}$ ; si au contraire on a une limite déterminée, on pose

$\int _{\alpha }^{\beta }f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{h=0,k=0}\int _{\alpha +h}^{\beta -k}f(x)\,\mathrm {d} x$.

L’intégrale dans ${(a,b)}$ est, par définition, la somme des intégrales dans les intervalles ${(\alpha ,\beta )}$.

On voit que la définition de Dirichlet repose sur les mêmes

1. Pour la définition des ensembles dérivés et pour les propriétés des ensembles réductibles, voir la Note placée à la fin du Volume. Dans la traduction qu’il a donnée récemment du Mémoire de Lipschitz (Acta mat., t. 36), M. Montel fait observer que Lipschitz admet explicitement seulement que le dérivé est non dense (voir plus loin) et qu’il croit cependant pouvoir en conclure qu’il ne contient qu’un nombre fini de points. Cette erreur rend encore plus incertaine la signification qu’il convient de donner au texte de Lipschitz.