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L’INTÉGRALE AVANT RIEMANN.

principes que celle de Cauchy ; la définition générale qui découle de ces principes peut s’énoncer ainsi :

Une fonction $f(x)$ a une intégrale dans un intervalle fini ${(a,b)}$ s’il existe dans ${(a,b)}$ une fonction continue $\mathrm {F} (x)$, et une seule à une constante additive près, telle que l’on ait

(1)

$\int _{\alpha }^{\beta }f(x)\,\mathrm {d} x=\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )$.

dans tout intervalle où $f(x)$ est continue. $\mathrm {F} (x)$ est l’intégrale indéfinie de $f(x)$ et l’on pose

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (a)$.

Pour que cette définition s’applique, il faut d’abord qu’il existe une fonction continue $\mathrm {F} (x)$ vérifiant la formule (1). Ceci revient, dans les deux cas traités par Cauchy et Dirichlet, à supposer l’existence des limites qui ont servi dans la définition. Nous supposerons cette condition remplie et nous allons chercher comment doivent être distribués les points singuliers de $f(x)$ pour que cette fonction ait une intégrale. Au point de vue qui nous occupe, les points singuliers de $f(x)$ sont ceux qui ne sont intérieurs à aucun intervalle dans lequel $f(x)$ est continue ; ce sont donc les points de $e$ et ceux de $e'$, ces points forment un ensemble que nous désignerons par $\mathrm {E}$. Tout point limite de points de $\mathrm {E}$, par sa définition même, est aussi point de $\mathrm {E}$ ; $\mathrm {E}$ contient donc tous ses points limites. C’est un des ensembles que Jordan appelait parfaits et M. Borel relativement parfaits ; nous appellerons un tel ensemble un ensemble fermé, conformément à un usage maintenant universel.

Pour que la formule (1) définisse entièrement $\mathrm {F} (x)$, il faut que, dans tout intervalle, il en existe un autre où $f(x)$ est continue. L’ensemble $\mathrm {E}$ doit donc être tel que, dans tout intervalle, s’en trouve un autre qui ne contienne pas de points de $\mathrm {E}$ ; c’est ce que l’on exprime en disant que $\mathrm {E}$ doit être non dense dans tout intervalle^[1].

1. P. Du Bois Reymond, auquel est due la distinction des deux classes remarquables d’ensembles, que nous appelons ensembles denses dans tout intervalle