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LA TOTALISATION.

peu importe puisqu’il en résulte que la fonction à totaliser est presque partout égale à $f(x)$ dans tout ${(a,b)}$.

Ainsi la totalisation permet non seulement de résoudre les problèmes A, B, C posés au Chapitre V et leurs extensions A′, B′, C′ ; mais elle permet aussi de traiter des problèmes plus larges encore comme le précédent.

À la vérité celui-ci paraît quelque peu étrange ; on ne comprend guère comment on pourrait avoir su que $f(x)$ est partout égale à l’un des nombres dérivés de ${\mathrm {F} (x)}$ sans savoir au moins duquel il s’agit en chaque point. Aussi le lecteur se demandera peut-être s’il ne suffirait pas de savoir que la fonction finie $f(x)$ est en tout point l’une des limites de ${r[\mathrm {F} (x),x,x+h]}$, pour des valeurs de $h$ tendant vers zéro, pour que la connaissance de $f(x)$ détermine ${\mathrm {F} (x)}$ à une constante près ? La réponse est négative. Remarquons en effet, avec M. Denjoy, que la fonction ${\mathrm {F} _{2}(x)}$, page 244, a une dérivée déterminée ${\mathrm {F} _{2}'(x)}$ en tout point extérieur à l’ensemble parfait $\mathrm {P}$ et a pour nombres dérivés ${\Lambda _{d}=\Lambda _{g}=+\infty }$ aux points de $\mathrm {P}$. La fonction ${\mathrm {F} _{2}(x)+m(x)}$, le symbole $m(x)$ désignant la mesure de la partie de $\mathrm {P}$ située dans ${(a,x)}$, a partout les mêmes nombres dérivés que ${\mathrm {F} _{2}(x)}$. Donc, pour chacune de ces fonctions, l’une des limites de $r$ est la fonction $f(x)$ égale à ${\mathrm {F} _{2}'(x)}$ en dehors de $\mathrm {P}$ et nulle sur $\mathrm {P}$ ; on peut même dire que $f(x)$ est l’une des limites de $r$ quand on fait tendre $h$ vers zéro par valeurs de signe déterminé ; par valeurs positives, par exemple. Et pourtant la différence de ces fonctions n’est pas constante.