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CHAPITRE X.
De la première de ces hypothèses, comme on a aux points de , il résulte qu’à toute valeur appartenant à on peut associer deux suites de valeurs de tendant vers , l’une par valeurs supérieures à , l’autre par valeurs inférieures à et pour lesquelles a une limite égale à 1. Il suffit en effet de prendre ces suites de valeurs de appartenant à ; tend alors vers la dérivée de , prise sur , laquelle est . De la deuxième hypothèse résulte alors :
α. Que si l’on est dans le cas où les quatre nombres dérivés sont égaux, on a ;
β. Que si l’on est dans le cas où , , , cette valeur finie est égale à 1 puisque 1 doit être commun aux deux intervalles , ;
γ. Que si l’on est dans le cas où , , , cette valeur finie est à 1 ;
δ. Enfin on peut avoir , .
Or la formule
,
qui lie les accroissements et dans laquelle le dernier rapport tend vers aux points de l’homologue de , montre qu’en un point de on a, suivant les cas,
(α)
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;
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(β)
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, ;
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|
(γ)
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, ;
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|
(δ)
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,.
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Le théorème de M. Denjoy est démontré. Il en résulte que si l’on connaît une fonction finie et si l’on sait qu’elle est en tout point égale à l’un des quatre nombres dérivés d’une fonction continue , à en certains points, à en d’autres, etc., la fonction est déterminée et s’obtient par la totalisation de . En effet, est une totale indéfinie et la fonction totalisable qui en dérive est presque partout égale à dans l’ensemble des points où , dans l’ensemble des points où , etc. Ces ensembles sont inconnus, mais