253
L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.
I. — L’intégration de Stieltjès définie à l’aide de la théorie des fonctions sommables.
Soit une fonction à variation bornée dans un intervalle ; nous l’appellerons la fonction déterminante de l’intégration qui va être définie.
étant une fonction continue dans , nous appelons intégrale de Stieltjès de , prise dans par rapport à la fonction déterminante , la limite de la somme
,
relative à une division de faite à l’aide de valeurs se succédant dans l’ordre : , , , …, , quand on fait croître indéfiniment le nombre et que l’on choisit les de façon que le maximum de tende vers zéro. désigne une valeur quelconque de prise dans .
Pour justifier cette dénomination, il faut, prouver que la limite existe. Considérons une suite de divisions de , soit , , …, obtenues chacune par subdivision des intervalles de la division précédente, et soient , , … les valeurs de fournies par ces divisions et certains choix des .
Soit la contribution dans d’un des intervalles de . Dans l’intervalle se trouve divisé par des points et fournit une contribution de la forme
,
la sommation étant étendue à certaines valeurs de . Or, avec les mêmes valeurs de , on a
.
La différence entre les deux contributions de est donc
désignant l’oscillation de dans et la variation totale de dans le même intervalle.