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CHAPITRE XI.

D’où, par addition,

$|\mathrm {S} _{k}-\mathrm {S} _{k+l}|\leqq \Omega _{k}\mathrm {V}$,

$\mathrm {V}$ étant la variation totale de ${\alpha (x)}$ dans ${(a,b)}$ et $\Omega _{k}$ le maximum de l’oscillation de $f(x)$ dans les intervalles de la division $\mathrm {D} _{k}$. Or $\Omega _{k}$ tend vers zéro quand $k$ augmente indéfiniment, par hypothèse, donc la suite des $\mathrm {S} _{k}$ est convergente.

Le cas particulier des suites $\mathrm {D} _{1}$, $\mathrm {D} _{2}$, …, obtenues par subdivisions successives, ainsi examiné, on passe au cas général par le raisonnement qui nous a tant de fois servi.

L’intégrale que nous venons de considérer est l’intégrale définie, elle se note

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]$.

Elle jouit évidemment des propriétés

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]=-\int _{b}^{a}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]$,

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]+\int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]+\int _{c}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]=0$,

$\int _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,\mathrm {d} [\alpha (x)]=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]+\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]$.

Pour cette intégrale, le théorème de la moyenne s’énonce ainsi : Si l’on a

$|f(x)|<\mathrm {M}$,

il en résulte

$\left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]\right\vert <\mathrm {MV}$,

$\mathrm {V}$ étant la variation totale de ${\alpha (x)}$ dans ${(a,b)}$.

Toutes ces propriétés résultent de suite de l’examen des sommes $\mathrm {S}$.

La fonction

$\mathrm {F} (x)={\text{const.}}+\int _{a}^{x}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]$

est dite la fonction d’une variable intégrale indéfinie, au sens de Stieltjès, de $f(x)$ prise par rapport à ${\alpha (x)}$. Cette définition