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CHAPITRE XI.
D’où, par addition,
![{\displaystyle |\mathrm {S} _{k}-\mathrm {S} _{k+l}|\leqq \Omega _{k}\mathrm {V} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea2465c03ac5b4aa154b9a0810ef0c2e84c383c)
,
étant la variation totale de
dans
et
le maximum de l’oscillation de
dans les intervalles de la division
. Or
tend vers zéro quand
augmente indéfiniment, par hypothèse, donc la suite des
est convergente.
Le cas particulier des suites
,
, …, obtenues par subdivisions successives, ainsi examiné, on passe au cas général par le raisonnement qui nous a tant de fois servi.
L’intégrale que nous venons de considérer est l’intégrale définie, elle se note
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d0798d05290342da8a0a29f1556586715d3a209)
.
Elle jouit évidemment des propriétés
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]=-\int _{b}^{a}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5aa6aabf727edb2906907a3340e7a5802a4e767)
,
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]+\int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]+\int _{c}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6448c9913383613ded5cd201af2f7879590cece)
,
![{\displaystyle \int _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,\mathrm {d} [\alpha (x)]=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]+\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c53c444fb4d98fd9f50f4e3ac7c47f0c3db71c3c)
.
Pour cette intégrale, le théorème de la moyenne s’énonce ainsi : Si l’on a
![{\displaystyle |f(x)|<\mathrm {M} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98cb47a61d21b5e7e4e76f99b8ae09ebf8408015)
,
il en résulte
![{\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]\right\vert <\mathrm {MV} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33731c8552b4c3402e14a10c44cf880b31eba3e8)
,
étant la variation totale de
dans
.
Toutes ces propriétés résultent de suite de l’examen des sommes
.
La fonction
![{\displaystyle \mathrm {F} (x)={\text{const.}}+\int _{a}^{x}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f421169ac72ba02cd9c2a3e61a10265d9149fb2)
est dite la fonction d’une variable intégrale indéfinie, au sens de Stieltjès, de
prise par rapport à
. Cette définition