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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.

Soient $p(x)$ et $n(x)$ les deux variations totales positive et négative de ${\alpha (x)}$, les deux fonctions

$\alpha _{1}(x)=p(x)+x$,$\alpha _{2}(x)=n(x)+x$

sont croissantes au sens strict, et l’on a

$\alpha (x)=\alpha _{1}(x)-\alpha _{2}(x)$.

Si donc on pose

$f(x)=g_{1}(\alpha _{1})=g_{2}(\alpha _{2})$,

on en déduit

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]=\int _{\alpha _{1}(a)}^{\alpha _{1}(b)}g_{1}(\alpha _{1})\,\mathrm {d} \alpha _{1}-\int _{\alpha _{2}(a)}^{\alpha _{2}(b)}g_{2}(\alpha _{2})\,\mathrm {d} \alpha _{2}$.

Enfin, le cas le plus général se traite de même : ${\alpha _{1}(x)}$ et ${\alpha _{2}(x)}$ étant formées à l’aide des variations totales de ${\alpha (x)}$ corrigée de sa fonction des sauts, on a, avec les notations précédentes,

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]=&\sum _{a\leqq x_{i}<x}f(x_{i})s_{d}(x_{i})+\sum _{a<x_{i}\leqq x}f(x_{i})s_{g}(x_{i})\\&+\int _{\alpha _{1}(a)}^{\alpha _{1}(b)}g_{1}(\alpha _{1})\,\mathrm {d} \alpha _{1}-\int _{\alpha _{2}(a)}^{\alpha _{2}(b)}g_{2}(\alpha _{2})\,\mathrm {d} \alpha _{2}{\text{.}}\end{aligned}}$

Toute intégrale de Stieltjès s’exprime donc à l’aide d’intégrales ordinaires. Avant de tirer des conséquences de ce fait essentiel, donnons d’autres formules équivalentes à la précédente. Celle-ci présente l’avantage de ne faire appel à l’intégration que sous sa forme la plus primitive : intégrale d’une fonction continue dans un intervalle ; par contre elle exige deux intégrales, l’emploi des séries et des changements de variables.

Supposons que ${\alpha (x)}$ soit continue, croissante au sens strict, et à dérivée continue ; alors aucun changement de variable n’est nécessaire car on a

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]=\int _{\alpha (a)}^{\alpha (b)}g(\alpha )\,\mathrm {d} \alpha =\int _{a}^{b}f(x)\alpha '(x)\,\mathrm {d} x$,

en revenant de la variable $\alpha$ à la variable $x$ par la formule clas-