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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.
étant l’ensemble des valeurs de 
pour lesquelles 
appartient à 
. Voici donc définie l’intégrale de Stieltjès de 
prise par rapport à 
, et étendue à l’ensemble .
Cette intégrale est définie pour les ensembles pour lesquels est mesurable ; cette famille d’ensembles contient tous les ensembles mesurables B.
L’intégrale est définie pour toute fonction ayant une valeur déterminée aux points de et égale sur à une fonction pour laquelle ![{\displaystyle {f[x(v)]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cc4a64d9eff37f723d33d15f950cd79ded36043)
est sommable dans 
. Donc en particulier cette définition s’applique à toute fonction bornée et mesurable B sur un ensemble mesurable B.
Or ![{\displaystyle {\int _{\mathrm {E} _{x}}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1611163fe128d548b403755b9240296be16974f5)
est évidemment une fonctionnelle linéaire dans le champ des fonctions données sur ; donc, quand une fonctionnelle linéaire ![{\displaystyle {\mathrm {A} _{\mathrm {I} }[f(x)]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e75adb8d0a766619cdcfe11961a787e35e6a79ff)
est définie pour les fonctions continues dans un intervalle 
, on en déduit une famille de fonctionnelles linéaires ![{\displaystyle {\mathrm {A} _{\mathrm {E} }[f(x)]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97b2a7db825647fe10852acf6b0192bb3fb9beab)
, attachées chacune à un ensemble 
mesurable B situé dans et définies pour les fonctions mesurables B bornées sur , par les conditions
1o
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![{\displaystyle \mathrm {A} _{\mathrm {E} }[f_{1}(x)+f_{2}(x)]=\mathrm {A} _{\mathrm {E} }[f_{1}(x)]+\mathrm {A} _{\mathrm {E} }[f_{2}(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f883a7c3bfb63d01fc3817d32798b16d03f8a0b) ;
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2o
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![{\displaystyle \mathrm {A} _{\mathrm {E} }[f(x)]\leqq \mathrm {M} \times [\operatorname {{\text{max. sur }}E{\text{ de }}} {|f(x)|}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f86c83891c016bb4a36d3c53f4dd3d1bdd98157) ,
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étant un nombre fixe, inconnu, indépendant de et de ;
3o Si 
tend en croissant vers sur , on a
![{\displaystyle \mathrm {A} _{\mathrm {E} }[f(x)]=\lim _{i\to \infty }{\mathrm {A} _{\mathrm {E} }[f_{i}(x)]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9dd0f1d86054ab0aa6d206ff11036959ef5d83e)
;
4o Si 
est égale à sur et nulle ailleurs, on a
![{\displaystyle \mathrm {A} _{\mathrm {E} }[f(x)]=\mathrm {A} _{\mathrm {I} }[g(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d97e0d96d5d8faf0ae7855eff5ab28f26d282391)
.
On peut être surpris de ce résultat car étant donnée, la fonction déterminante n’est pas unique. Il est bien clair, en effet, que si l’on modifie en un seul point 
intérieur à cela ne modifie par pour les fonctions continues dans , car on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} _{\mathrm {I} }[f(x)]&=\int _{a\leqq x<x_{0}}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]\\&\qquad +f(x_{0})\left[\alpha (x_{0}+0)-\alpha (x_{0}-0)\right]\\&\qquad +\int _{x_{0}<x\leqq b}f(x)\,\mathrm {d} \left[\alpha (x)\right]{\text{ ;}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3475006ce5d6483826bb187488b89bddb74d539b)
