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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.
étant l’ensemble des valeurs de
pour lesquelles
appartient à
. Voici donc définie l’intégrale de Stieltjès de
prise par rapport à
, et étendue à l’ensemble
.
Cette intégrale est définie pour les ensembles
pour lesquels
est mesurable ; cette famille d’ensembles contient tous les ensembles
mesurables B.
L’intégrale est définie pour toute fonction ayant une valeur déterminée aux points de
et égale sur
à une fonction
pour laquelle
est sommable dans
. Donc en particulier cette définition s’applique à toute fonction
bornée et mesurable B sur un ensemble
mesurable B.
Or
est évidemment une fonctionnelle linéaire dans le champ des fonctions
données sur
; donc, quand une fonctionnelle linéaire
est définie pour les fonctions continues dans un intervalle
, on en déduit une famille de fonctionnelles linéaires
, attachées chacune à un ensemble
mesurable B situé dans
et définies pour les fonctions mesurables B bornées sur
, par les conditions
1o
|
;
|
|
2o
|
,
|
|
étant un nombre fixe, inconnu, indépendant de
et de
;
3o Si
tend en croissant vers
sur
, on a
![{\displaystyle \mathrm {A} _{\mathrm {E} }[f(x)]=\lim _{i\to \infty }{\mathrm {A} _{\mathrm {E} }[f_{i}(x)]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9dd0f1d86054ab0aa6d206ff11036959ef5d83e)
;
4o Si
est égale à
sur
et nulle ailleurs, on a
![{\displaystyle \mathrm {A} _{\mathrm {E} }[f(x)]=\mathrm {A} _{\mathrm {I} }[g(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d97e0d96d5d8faf0ae7855eff5ab28f26d282391)
.
On peut être surpris de ce résultat car
étant donnée, la fonction déterminante
n’est pas unique. Il est bien clair, en effet, que si l’on modifie
en un seul point
intérieur à
cela ne modifie par
pour les fonctions
continues dans
, car on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} _{\mathrm {I} }[f(x)]&=\int _{a\leqq x<x_{0}}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]\\&\qquad +f(x_{0})\left[\alpha (x_{0}+0)-\alpha (x_{0}-0)\right]\\&\qquad +\int _{x_{0}<x\leqq b}f(x)\,\mathrm {d} \left[\alpha (x)\right]{\text{ ;}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3475006ce5d6483826bb187488b89bddb74d539b)