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CHAPITRE XI.
et pourtant cela modifie en général
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a\leqq x\leqq x_{0}}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]&=\int _{a\leqq x<x_{0}}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]\\&\qquad +f(x_{0})[\alpha (x_{0})-\alpha (x_{0}-0)]{\text{.}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98b1956f379a77e12324e75de71bf6e6dddf1c5c)
Le paradoxe vient uniquement de ce que l’on n’a, pour 
, l’égalité
![{\displaystyle \mathrm {A} _{a\leqq x\leqq x_{0}}\left[f(x)\right]=\int _{a\leqq x\leqq x_{0}}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83add1c40683177210503513838be00d4fc6aa79)
,
qu’avec les fonctions 
qui sont continues à droite en 
. Tel était le cas pour la fonction 
qui a été construite au cours de la démonstration du théorème de M. Riesz, on le vérifiera facilement ; mais avec cette fonction on n’a pas
![{\displaystyle \mathrm {A} _{x_{0}\leqq x\leqq b}\left[f(x)\right]=\int _{x_{0}\leqq x\leqq b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9357ec41e5b5abebb52bf0efd98310e751fd09b2)
,
quand est un point de discontinuité de .
La difficulté que l’on rencontre ici est la même que celle qui s’est présentée précédemment (p. 153). Pour chaque fonction 
, ![{\displaystyle {\mathrm {A} _{\mathrm {E} }[f(x)]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97b2a7db825647fe10852acf6b0192bb3fb9beab)
est une fonction d’ensemble complètement additive ; si donc on veut avoir
![{\displaystyle \mathrm {A} _{x_{1}<x\leqq x_{2}}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]={\mathcal {F}}(x_{2})-{\mathcal {F}}(x_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e66f61cf1f0c717e2dbd5c848e7bdb1c5455c182)
,
en appelant 
l’intégrale indéfinie ![{\displaystyle {\int _{a}^{x}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b35c6aebda078f407c7b9df5e38b507c01548088)
, il faut que puisse être fonction génératrice d’une fonction additive d’ensemble et par suite soit, comme nous l’avons vu à l’endroit indiqué, une fonction continue à droite. Or le saut de droite de est, en , égal à ![{\displaystyle {f(x_{0})[\alpha (x_{0}+0)-\alpha (x_{0})]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/098d36eddbab4ffeb990fab3141d61d9aead6ff9)
, donc doit être continue à droite.
Pour tourner la difficulté qui se présente ainsi, lorsque l’on veut étendre aux ensembles mesurables une fonctionnelle connue dans un intervalle grâce à une fonction déterminée et non continue à droite, on peut décomposer en sa fonction des sauts et sa partie continue
;
