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CHAPITRE XI.

et pourtant cela modifie en général

${\begin{aligned}\int _{a\leqq x\leqq x_{0}}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]&=\int _{a\leqq x<x_{0}}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]\\&\qquad +f(x_{0})[\alpha (x_{0})-\alpha (x_{0}-0)]{\text{.}}\end{aligned}}$

Le paradoxe vient uniquement de ce que l’on n’a, pour ${x_{0}>a}$, l’égalité

$\mathrm {A} _{a\leqq x\leqq x_{0}}\left[f(x)\right]=\int _{a\leqq x\leqq x_{0}}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]$,

qu’avec les fonctions $\alpha$ qui sont continues à droite en $x_{0}$. Tel était le cas pour la fonction ${\alpha (x)}$ qui a été construite au cours de la démonstration du théorème de M. Riesz, on le vérifiera facilement ; mais avec cette fonction on n’a pas

$\mathrm {A} _{x_{0}\leqq x\leqq b}\left[f(x)\right]=\int _{x_{0}\leqq x\leqq b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]$,

quand $x_{0}$ est un point de discontinuité de ${\alpha (x)}$.

La difficulté que l’on rencontre ici est la même que celle qui s’est présentée précédemment (p. 153). Pour chaque fonction $f(x)$, ${\mathrm {A} _{\mathrm {E} }[f(x)]}$ est une fonction d’ensemble complètement additive ; si donc on veut avoir

$\mathrm {A} _{x_{1}<x\leqq x_{2}}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]={\mathcal {F}}(x_{2})-{\mathcal {F}}(x_{1})$,

en appelant ${{\mathcal {F}}(x)}$ l’intégrale indéfinie ${\int _{a}^{x}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]}$, il faut que ${{\mathcal {F}}(x)}$ puisse être fonction génératrice d’une fonction additive d’ensemble et par suite soit, comme nous l’avons vu à l’endroit indiqué, une fonction continue à droite. Or le saut de droite de ${{\mathcal {F}}(x)}$ est, en $x_{0}$, égal à ${f(x_{0})[\alpha (x_{0}+0)-\alpha (x_{0})]}$, donc ${\alpha (x)}$ doit être continue à droite.

Pour tourner la difficulté qui se présente ainsi, lorsque l’on veut étendre aux ensembles mesurables une fonctionnelle connue dans un intervalle grâce à une fonction ${\alpha (x)}$ déterminée et non continue à droite, on peut décomposer ${\alpha (x)}$ en sa fonction des sauts et sa partie continue

$\alpha (x)=\mathrm {S} (x)+\mathrm {C} (x)$ ;