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L’INTÉGRALE AVANT RIEMANN.
déterminée quand n’a qu’un nombre fini de points. On passe ensuite au cas où soit , soit ,… n’a qu’un nombre fini de points ; puis au cas où c’est qui jouit de cette propriété, et ainsi de suite.
Nous voyons ainsi que, si est réductible, est bien déterminée, de sorte que notre définition s’applique ; il existe alors une intégrale que l’on obtient par l’application répétée de la méthode de Cauchy-Dirichlet.
Pour avoir des exemples de fonctions auxquelles s’applique cette méthode, il suffit de prendre un ensemble réductible , de ranger ses points en suite simplement infinie, , , …, et de former la série
[1].
Supposons maintenant que l’ensemble des points singuliers de ne soit pas réductible. Nous allons voir que, s’il existe une fonction satisfaisant à la condition (1) dans tout intervalle où est continue, il en existe une infinité.
Soit celui des dérivés de qui est parfait ; s’obtient en enlevant de l’intervalle considéré les points intérieurs à des intervalles , , …, qui forment une suite dénombrable si est non dense dans tout intervalle, ce qui est le seul cas qui nous intéresse[2].
Définissons une fonction par la condition d’être nulle pour , égale à 1 pour . En tous les points de , . En tous les points de , , si est entre et ; et , si est entre et . D’une façon générale, ayant attribué à , dans , , …, , les valeurs , , …, , on attribue à , dans , la valeur , et étant les indices de ceux des deux intervalles , , …, qui comprennent .
- ↑ D’après les propriétés des séries uniformément convergentes, a tous les points de pour points de discontinuité. On verra facilement que la série précédente est intégrable terme à terme.
Pour des exemples d’ensembles réductibles, voir la Note à la fin du Volume.
- ↑ Car si est dense dans un intervalle, est certainement indéterminée.