Tout point de est limite de points de certains intervalles ; il est facile de voir que si des points de , , … tendent vers , , , … tendent vers une limite déterminée ; on prend cette limite pour valeur de . est ainsi partout déterminée, c’est une fonction continue non constante dans et, cependant, constante dans tout intervalle ne contenant pas de points de . De sorte que, s’il existe une fonction , satisfaisant à l’égalité (1) dans tout intervalle où il n’y a pas de points de , satisfait aussi à cette condition.
Maintenant, si l’on remarque que les ensembles qui, à la page 11, ont été désignés par et sont réductibles en même temps[1], on voit que, pour que la définition adoptée s’applique, il faut et il suffit que l’ensemble des points de discontinuité de la fonction à intégrer soit réductible et qu’il existe une fonction continue vérifiant (1) dans les intervalles où est continue.
- ↑ Il faut bien remarquer que peut être dénombrable sans que le soit, est alors un ensemble dénombrable non réductible ; c’est le cas de l’ensemble des nombres rationnels.