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CHAPITRE XI.

et par suite

$\sigma _{j}\leqq s_{i}+\varepsilon$,

dès que $j$ est assez grand. Il en résulte que les $s_{i}$ et les $\sigma _{j}$ convergent vers une même limite.

Nous venons en somme de démontrer le théorème pour une fonction monotone et l’existence des limites

${\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[p(x)\right]$,${\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[p(x)\right]$,

${\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[n(x)\right]$,${\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[n(x)\right]$,

est prouvée.

En désignant par $\lim {\mathrm {S} }$ l’une quelconque des limites du nombre $\mathrm {S}$, nous pouvons donc écrire :

${\begin{aligned}&{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[p(x)\right]-{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[n(x)\right]\\\leqq \lim {\mathrm {S} }\leqq &{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[p(x)\right]-{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[n(x)\right]{\text{ ;}}\end{aligned}}$

ou

$\mathrm {D} \leqq \lim {\mathrm {S} }\leqq \mathrm {E}$.

La différence entre les membres extrêmes de ces inégalités est, d’après la façon même dont elle a été obtenue, la limite de

${\begin{aligned}&\left[\sum _{0}^{n}\mathrm {L} _{i}\,\delta _{i}p-\sum _{0}^{n}l_{i}\,\delta _{i}n\right]-\left[\sum _{0}^{n}l_{i}\,\delta _{i}p-\sum _{0}^{n}\mathrm {L} _{i}\,\delta _{i}n\right]\\&\quad =\sum _{0}^{n}(\mathrm {L} _{i}-l_{i})(\delta _{i}p-\delta _{i}n)=\sum _{0}^{n}\omega _{i}\,\delta _{i}v{\text{.}}\end{aligned}}$

Or, on a

${\overline {\mathrm {S} }}-{\underline {\mathrm {S} }}=\sum _{0}^{n}\mathrm {L} '_{i}\,\delta _{i}\alpha -\sum _{0}^{n}l'_{i}\,\delta _{i}\alpha =\sum _{0}^{n}(\mathrm {L} '_{i}-l'_{i})\delta _{i}\alpha =\sum _{0}^{n}\omega _{i}\,|\delta _{i}\alpha |$.

Comparons ces deux différences, on obtient

$0\leqq \sum _{0}^{n}\omega _{i}\,\delta _{i}v-\sum _{0}^{n}\omega _{i}\,|\delta _{i}\alpha |=\sum _{0}^{n}\omega _{i}\left[\delta _{i}v-|\delta _{i}\alpha |\right]$ ;