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CHAPITRE XI.

Une première condition c’est que ${\mathrm {F} (x)}$ soit à variation bornée et ait en tout point des sauts de droite et de gauche proportionnels à ceux de ${\alpha (x)}$, d’après l’expression de la fonction des sauts d’une intégrale donnée (p. 256) :

${\frac {\mathrm {F} (x)-\mathrm {F} (x-0)}{\alpha (x)-\alpha (x-0)}}={\frac {\mathrm {F} (x+0)-\mathrm {F} (x)}{\alpha (x+0)-\alpha (x)}}$.

Cherchons les autres conditions : nous voulons avoir

$\mathrm {F} (x)=\mathrm {C} +\int _{a}^{x}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]=\mathrm {C} +\int _{0}^{\mathrm {V} (x)}f[x(v)].{'\!\mathrm {A} (v)}\,\mathrm {d} v$

pour une fonction inconnue $f(x)$. La fonction continue

$\Phi (v)=\mathrm {C} +\int _{0}^{v}f[x(v)].{'\!\mathrm {A} (v)}\,\mathrm {d} v$

est définie dans tout ${(0,\mathrm {V} )}$. Pour toute valeur $v$ telle que l’équation ${v=\mathrm {V} (x)}$ ait au moins une racine, on a

$\Phi (v)=\mathrm {F} [x(v)]$ ;

les seules valeurs de $v$ en lesquelles on n’a pas cette égalité sont donc celles pour lesquelles on a une inégalité de la forme

$\mathrm {V} (x_{0}-0)=v_{1}\leqq v<\mathrm {V} (x_{0})=v_{0}$

ou de la forme

$\mathrm {V} (x_{0})=v_{0}<v\leqq \mathrm {V} (x_{0}+0)=v_{2}$.

Dans ${(v_{1},v_{2})}$, $x(v)$ est constant et égal à $x_{0}$  ; ${\mathrm {A} (v)}$ est linéaire dans ${(v_{1},v_{0})}$ et ${(v_{0},v_{2})}$ et prend les valeurs ${\alpha (x_{0}-0)}$, ${\alpha (x_{0})}$, ${\alpha (x_{0}+0)}$ pour $v_{1}$, $v_{0}$, $v_{2}$. Donc ${\Phi (v)}$ est linéaire dans ${(v_{1},v_{0})}$ et ${(v_{0},v_{2})}$ et y subit les accroissements

$f(x_{0})\left[\alpha (x_{0})-\alpha (x_{0}-0)\right]$,$f(x_{0})\left[\alpha (x_{0}+0)-\alpha (x_{0})\right]$.

Il résulte de là que si l’on pose ${\Psi [\mathrm {V} (x)]=\mathrm {F} (x)}$ et si l’on convient de compléter la définition de $\Psi$ de manière qu’elle soit partout continue et qu’elle soit linéaire dans les intervalles où elle n’était pas encore déterminée, on doit avoir ${\Psi (v)\equiv \Phi (v)}$. En d’autres termes ${\Psi (v)}$ doit être absolument continue en $v$.

Montrons que cette condition jointe à la précédente, est suffisante. Supposons donc ces conditions vérifiées. Si $x_{0}$ est un point