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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.

nous n’avons considéré que le cas où la théorie des fonctions sommables donnait un sens au second membre et nous n’avons pas fait appel à la théorie de la totalisation. Convenons maintenant d’appeler totale définie de $f(x)$ par rapport à ${\alpha (x)}$, l’expression

$\mathrm {T} _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} \left[\alpha (x)\right]=\mathrm {T} _{0}^{\mathrm {V} }f\left[x(v)\right].{'\!\mathrm {A} (v)}\,\mathrm {d} v$,

dans le second membre de laquelle le symbole $\mathrm {T} _{0}^{\mathrm {V} }$ désigne la totale définie, au sens de M. Denjoy, de la fonction ${f[x(v)].{'\!\mathrm {A} (v)}}$ supposée totalisable^[1].

Ce nouveau mode de totalisation, définit en même temps la totale indéfinie de $f(x)$ par rapport à ${\alpha (x)}$. Ces deux totales sont obtenues comme précédemment par l’emploi répété par récurrence transfinie d’opérations analogues aux opérations A et B de la page 227 :

A₁. On suppose connues des totales indéfinies ${\mathrm {F} _{k}(x)}$ de $f(x)$ dans des intervalles ${(a_{k},b_{k})}$ tendant vers ${(l,m)}$

$l<\ldots <a_{2}<a_{1}<b_{1}<b_{2}<\ldots <m$,

La fonction ${\mathrm {F} (x)}$, égale à ${\mathrm {F} _{1}(x)}$ dans ${(a_{1},b_{1})}$, égale à

$\mathrm {F} _{k}(x)-\mathrm {F} _{k}(a_{k-1})+\mathrm {F} _{k-1}(a_{k-1})-\mathrm {F} _{k-1}(a_{k-2})+\ldots +\mathrm {F} _{1}(a_{1})$

dans ${(a_{k},a_{k-1})}$, et définie d’une manière analogue dans ${(b_{k-1},b_{k})}$, est prise pour totale indéfinie de $f(x)$ dans ${(l+0,m-0)}$. On achève la détermination de la totale indéfinie dans ${(l,m)}$ en convenant que ${\mathrm {F} (x)}$ a, en $l$, un saut à droite égal à

$f(l)\left[\alpha (l+0)-\alpha (l)\right]$

et, en $m$, un saut à gauche égal à

$f(m)\left[\alpha (m)-\alpha (m-0)\right]$.

1. En évitant d’employer le mot intégrale à la place de totale et le symbole $\textstyle \int$ à la place de symbole $\mathrm {T}$, je suis l’exemple de M. Denjoy qui a toujours soigneusement distingué l’intégration et la totalisation dans le vocabulaire et dans les formules.

   D’autres Auteurs ont, au contraire, utilisé pour tous les cas le mot intégrale et le symbole $\textstyle \int$.

   Les deux façons de faire ont des avantages et des inconvénients.