Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/318

302

CHAPITRE XI.

En d’autres termes,

${\frac {\mathrm {F} \left[x(v+\delta v)\right]-\mathrm {F} \left[x(v)\right]}{\delta v}}$et${\frac {\alpha \left[x(v+\delta v)\right]-\alpha \left[x(v)\right]}{\delta v}}$

tendent, pour ${\delta v}$ tendant vers zéro, vers les deux limites indiquées. Et comme ${'\!\mathrm {A} (v)}$ est différent de zéro, de ceci résulte que

${\frac {\mathrm {F} \left[x(v+\delta v)\right]-\mathrm {F} \left[x(v)\right]}{\alpha \left[x(v+\delta v)\right]-\alpha \left[x(v)\right]}}$

tend vers ${f[x(v)]}$. Nous ne pouvons cependant pas conclure immédiatement parce que la fonction ${x(v)}$ ne prend pas toutes les valeurs de ${(a,b)}$ et que $v$ et ${v+\delta v}$ peuvent donner la même valeur de $x$ ; nous pouvons dire seulement que presque en tout point ${x=x(v)}$, donné par une valeur de $v$ n’appartenant pas à $\mathrm {E} _{v}$, et pour laquelle ${\alpha (x)}$ est continue, ${\mathrm {F} (x)}$ admet $f(x)$ pour dérivée par rapport à ${\alpha (x)}$. Les points qui ne sont pas donnés par une valeur de $v$ grâce à la formule ${x=x(v)}$ appartiennent à un intervalle dans lequel ${\alpha (x)}$ est constante ; l’ensemble de ces intervalles donne un ensemble fini ou dénombrable de points ${\mathrm {V} (x)}$ ; donc est de mesure nulle par rapport à ${\mathrm {V} (x)}$, et d’ailleurs, dans ces intervalles, la dérivée de ${\mathrm {F} (x)}$ est indéterminée. D’autre part, si $x$ est point de discontinuité de ${\alpha (x)}$, en ce point ${\mathrm {F} (x)}$ admet bien $f(x)$ pour dérivée, d’après le calcul que nous avons fait des sauts de ${\mathrm {F} (x)}$. Donc le théorème est entièrement démontré.

Essayons maintenant de résoudre le problème des fonctions primitives, sans assujettir la fonction $f(x)$, jusqu’ici supposée sommable par rapport à ${\alpha (x)}$, à aucune condition restrictive. Nous supposons donc donnée la dérivée, partout finie, $f(x)$, d’une fonction inconnue ${\mathrm {F} (x)}$, cette dérivée étant prise par rapport à une fonction à variation bornée donnée ${\alpha (x)}$.

Il est clair que, pour la détermination de ${\mathrm {F} (x)}$, l’intégration par rapport à ${\alpha (x)}$ sera insuffisante et qu’il faudra nous adresser à une généralisation de la totalisation, puisqu’il faut recourir à l’opération de totalisation lorsque ${\alpha (x)}$ se réduit à la fonction $x$. Or une telle généralisation s’est présentée à nous (p. 261) ; quand nous avons décidé de prendre pour définition de l’intégrale de Stieltjès la formule

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} \left[\alpha (x)\right]=\int _{0}^{\mathrm {V} }f\left[x(v)\right].{'\!\mathrm {A} (v)}\,\mathrm {d} v$,