est contenu dans ; si est assez grand, est contenu dans ; donc on a
ce qui suffit à démontrer la propriété.
Les nombres , , sont appelés le maximum ou limite supérieure, le minimum ou limite inférieure et l’oscillation de la fonction en . est un point de continuité ou de discontinuité, suivant que est nul ou positif, c’est-à-dire suivant que et sont égaux ou inégaux[1].
Si est l’abscisse de et si l’on convient de ne considérer que les valeurs de supérieures à (), on obtient le maximum , le minimum et l’oscillation à droite en , au delà de . Si , c’est-à-dire si , existe et est égale à ; la fonction est dite continue à droite au point , au delà de . Si , la fonction est dite continue à droite au point . On définit de même les nombres , , [2].
Si et sont nuls, c’est-à-dire si et existent, la discontinuité est dite de première espèce, sinon elle est dite de seconde espèce.
Toutes ces définitions pourraient être données pour des fonctions non bornées ; rien ne serait changé, sauf que les nombres définis ne seraient plus nécessairement finis.
Aux notions précédentes, on peut rattacher la notion de limite d’indétermination qui nous sera souvent utile ; cette notion est due à P. Du Bois Reymond.
Un procédé de calcul fournit, dans certaines conditions, un nombre déterminé ; dans d’autres conditions, au contraire, il ne fournit plus un nombre déterminé, mais, suivant la manière dont
- ↑ À ces définitions se rattachent les notions très importantes de fonction semi-continue inférieurement, de fonction semi-continue supérieurement introduites par M. Baire. Ce sont les fonctions qui sont égales en chaque point respectivement au nombre ou attaché à en ce point.
- ↑ La définition précédente est celle des maximum, minimum, oscillation de à droite de , étant exclu. On considère aussi souvent les mêmes nombres, n’étant pas exclu ; il faut alors prendre les valeurs de égales ou supérieures à (). C’est à cette façon d’opérer que se rattache la notion de continuité à droite au point .