on l’applique, il fournit différents nombres qui forment un ensemble . On peut alors, ou dire que le procédé ne fournit plus aucun nombre, ou dire que le procédé donne pour nombre l’un quelconque des nombres de . Le nombre est ainsi considéré comme indéterminé. Le plus petit intervalle qui contient tous les points de , soit à son intérieur, soit confondus avec ses extrémités, a pour origine et pour extrémité les limites inférieure et supérieure d’indétermination du nombre . Ces limites sont finies ou infinies, elles ne font pas nécessairement partie de .
Par exemple, on donne l’expression
où est entier. est nul pour ; pour calculer dans ce cas on peut choisir arbitrairement une suite d’entiers croissants , , …, et prendre la limite de la suite correspondante. Si n’est plus compris entre −1 et +1, en opérant ainsi et en choisissant convenablement les , on aura encore une limite, mais cette limite dépendra parfois du choix des . Pour , l’ensemble de ces limites contient les deux seuls nombres −1 et +1 qui sont les limites d’indétermination. Pour , l’ensemble ne contient que et qui sont les deux limites d’indétermination.
Pour , est égal à . Pour , est égal à .
La notion des limites d’indétermination peut souvent être remplacée par la notion plus simple de plus petite et de plus grande limite, notion que l’on doit à Cauchy.
Supposons que le nombre soit défini comme la limite pour d’un nombre ; prendra toutes les valeurs possibles ou seulement celles d’un certain ensemble dont est un point limite (l’exemple précédent se ramène à ce cas si l’on prend , où est entier, et ). La fonction n’est pas définie pour , mais nous savons qu’elle a pour un minimum ou limite inférieure et un maximum ou limite supérieure [1] ; ces nombres, finis ou non, sont respectivement la plus petite et la plus grande des limites que l’on peut obtenir quand,
- ↑ Ces dénominations, limite inférieure et limite supérieure, sont celles qu’adopte M. J. Hadamard.