Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/36

20

CHAPITRE II.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

on l’applique, il fournit différents nombres qui forment un ensemble $\mathrm {A}$. On peut alors, ou dire que le procédé ne fournit plus aucun nombre, ou dire que le procédé donne pour nombre $\varphi$ l’un quelconque des nombres de $\mathrm {A}$. Le nombre $\varphi$ est ainsi considéré comme indéterminé. Le plus petit intervalle qui contient tous les points de $\mathrm {A}$, soit à son intérieur, soit confondus avec ses extrémités, a pour origine et pour extrémité les limites inférieure et supérieure d’indétermination du nombre $\varphi$. Ces limites sont finies ou infinies, elles ne font pas nécessairement partie de $\mathrm {A}$.

Par exemple, on donne l’expression

$\varphi =\lim _{n=\infty }x^{n}$,

où $n$ est entier. $\varphi$ est nul pour ${\left\vert x\right\vert <1}$ ; pour calculer $\varphi$ dans ce cas on peut choisir arbitrairement une suite d’entiers croissants $n_{1}$, $n_{2}$, …, et prendre la limite de la suite $x^{n_{i}}$ correspondante. Si $x$ n’est plus compris entre −1 et +1, en opérant ainsi et en choisissant convenablement les $n_{i}$, on aura encore une limite, mais cette limite dépendra parfois du choix des $n_{i}$. Pour ${x=-1}$, l’ensemble $\mathrm {A}$ de ces limites contient les deux seuls nombres −1 et +1 qui sont les limites d’indétermination. Pour ${x<-1}$, l’ensemble $\mathrm {A}$ ne contient que $+\infty$ et $-\infty$ qui sont les deux limites d’indétermination.

Pour ${x=1}$, $\varphi$ est égal à $1$. Pour ${x>1}$, $\varphi$ est égal à $+\infty$.

La notion des limites d’indétermination peut souvent être remplacée par la notion plus simple de plus petite et de plus grande limite, notion que l’on doit à Cauchy.

Supposons que le nombre $\varphi$ soit défini comme la limite pour ${\lambda =\lambda _{0}}$ d’un nombre $\psi (\lambda )$ ; $\lambda$ prendra toutes les valeurs possibles ou seulement celles d’un certain ensemble dont $\lambda _{0}$ est un point limite (l’exemple précédent se ramène à ce cas si l’on prend ${\lambda ={\frac {1}{n}}}$, où $n$ est entier, et $\lambda _{0}=0$). La fonction $\psi (\lambda )$ n’est pas définie pour ${\lambda =\lambda _{0}}$, mais nous savons qu’elle a pour ${\lambda =\lambda _{0}}$ un minimum ou limite inférieure $l$ et un maximum ou limite supérieure $\mathrm {L}$^[1] ; ces nombres, finis ou non, sont respectivement la plus petite et la plus grande des limites que l’on peut obtenir quand,

1. Ces dénominations, limite inférieure et limite supérieure, sont celles qu’adopte M. J. Hadamard.