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NOTE.

qu’est celui de la détermination d’une fonction quand on a su donner la loi des termes successifs de son développement en série ?

Les chaînes d’intervalles s’introduisent dans la recherche des fonctions primitives de la façon suivante : Soit $f'(x)$ la dérivée d’une fonction continue $f(x)$ ; il existe des intervalles ${(a_{0},a_{1})}$, ${(a_{1},a_{2})}$, … dans chacun desquels on a une inégalité de la forme

$|f(x)-f(a_{i})-(x-a_{i})f'(a_{i})|\leqq \varepsilon (x-a_{i})$.

Ces intervalles, et ces inégalités, sont ceux que l’on considère dans la démonstration d’existence des solutions de l’équation ${y'=f(x)}$ ; seulement on se place généralement dans des conditions où l’on peut couvrir tout l’intervalle considéré à l’aide d’un nombre fini de ces intervalles ${(a_{i},a_{i+1})}$. Si l’on ne suppose rien sur $f'(x)$ les intervalles ${(a_{i},a_{i+1})}$ sont en nombre infini et ils forment une chaîne d’intervalles qu’on peut toujours utiliser pour l’évaluation approchée de $f(x)$ à partir de la formule exacte

$f(x)-f(a)=f(x)-f(a_{\alpha })+\sum _{\lambda =0}^{\lambda <\alpha }\left[f(a_{\lambda +1})-f(a_{\lambda })\right]$,

$x$ étant supposé contenu dans ${(a_{\alpha },a_{\alpha +1})}$. De cette évaluation approchée de $f(x)$, on déduit alors que l’on a, avec certaines généralisations de l’intégrale,

$f(x)-f(a_{0})=\int _{a_{0}}^{x}f'(x)\,\mathrm {d} x$,

comme conséquence de l’inégalité,

$\left\vert f(x)-f(a_{0})-\int _{a_{0}}^{x}f'(x)\,\mathrm {d} x\right\vert \leqq \varepsilon (x-a_{0})$.

Ce résultat est obtenu dans les différents chapitres de ce livre à l’aide du raisonnement par récurrence transfinie ; mais il est clair, d’après ce qui précède, qu’on le déduira d’un raisonnement par l’absurde toutes les fois qu’on aura prouvé qu’aucun point $x$ ne saurait être le dernier pour lequel on a l’inégalité précédente.

Le lecteur pourra rechercher les modifications qu’il faut apporter à notre exposé pour le débarrasser de tout emploi des nombres transfinis et de la récurrence transfinie ; nous allons faire cette transformation de raisonnement seulement pour la première des propositions relatives aux dérivées obtenues à l’aide du procédé des chaînes, la suivante^[1] :

Une fonction est déterminée à une constante additive près quand on

1. On se reportera à la page 86 ; à cet endroit les conditions envisagées sont un peu plus générales que celles de l’énoncé du texte, nous nous plaçons ici dans les conditions les plus simples.