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CHAPITRE III.

DÉFINITION GÉOMÉTRIQUE DE L’INTÉGRALE.

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I. — La mesure des ensembles.

Dans le premier Chapitre, la définition de l’intégrale a été rattachée à celle de certaines aires ; nous allons rechercher si, par une voie géométrique analogue, on peut arriver à la définition générale de Riemann. Nous verrons que cela est possible, de sorte que l’intégrale de Riemann apparaît comme la généralisation naturelle de l’intégrale de Cauchy, que l’on se place au point de vue analytique ou géométrique^[1].

Je vais d’abord attacher aux ensembles des nombres qui seront les analogues des longueurs, aires, volumes, attachés aux segments,

1. Dans ce qui suit, je suppose définie la longueur (euclidienne) d’un segment et l’aire (euclidienne) d’un polygone.

   Pour éviter toute difficulté, il est commode de considérer un point comme un ensemble de trois nombres $x$, $y$, $z$ ; un déplacement comme un changement de coordonnées dont les coefficients sont assujettis aux conditions connues. Alors, par définition, la distance des deux points ${(a,b,c)}$, ${(\alpha ,\beta ,\gamma )}$ est

   $+{\sqrt {(a-\alpha )^{2}+(b-\beta )^{2}+(c-\gamma )^{2}}}$.

   La fonction ainsi définie est, à un multiplicateur constant près, la seule fonction de deux points qui reste invariable dans les déplacements et telle que l’on ait

   $f(\mathrm {P,Q} )+f(\mathrm {Q,R} )=f(\mathrm {P,R} )$,

   lorsque $\mathrm {Q}$ est sur le segment $\mathrm {PR}$. C’est de là que vient l’importance du nombre longueur.

   L’aire d’un polygone est définie par les théorèmes de la Géométrie élémentaire ; l’importance de ce nombre se justifie comme celle de la longueur. (Voir la Géométrie élémentaire de M. Hadamard, note D, ou encore la Géométrie de MM. Gérard et Niewenglowski.)