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LA DÉFINITION DE L’INTÉGRALE DONNÉE PAR RIEMANN.

drait déterminer l’ensemble $\mathrm {A}$ de toutes les valeurs limites de $\mathrm {S}$ ^[1]. Pour le cas de l’intégrale, on a cette propriété que je me contenterai d’énoncer : Tout nombre compris entre les intégrales par excès et par défaut est l’une des limites des sommes $\mathrm {S}$ , quand $\lambda$ tend vers zéro^[2].

↑ Dans certains cas, on a déterminé non seulement l’ensemble des limites d’une fonction $\psi (\lambda )$ , mais encore la fréquence de chacune de ces limites. Cela a été fait notamment pour la sommation de certaines séries divergentes (voir Borel, Leçons sur les séries divergentes, p. 5).
↑ Voir Lebesgue, Ann. de l’Éc. Norm. sup., 1910. À titre d’exercice concernant les intégrales par excès et par défaut, on pourra démontrer que, $f(x)$ étant une fonction bornée d’oscillation moyenne $\omega$ dans ${(a,b)}$ et dont les limites inférieure, supérieure et l’oscillation en $x$ sont $l(x)$ , $\mathrm {L} (x)$ et $\omega (x)$ , on a
$(b-a)\omega ={\overline {\int f(x)\,\mathrm {d} x}}-{\underline {\int f(x)\,\mathrm {d} x}}={\overline {\int \mathrm {L} (x)\,\mathrm {d} x}}-{\underline {\int l(x)\,\mathrm {d} x}}={\overline {\int \omega (x)\,\mathrm {d} x}}$ .

Les mêmes relations sont vraies si, dans la définition de $\mathrm {L} (x)$ , $l(x)$ , $\omega (x)$ , on exclut la valeur $x$ de la variable, ou si, par ces notations, on désigne les limites supérieure, inférieure et l’oscillation à droite ou à gauche, $x$ étant exclu ou non. (Voir la note 2, p. 19.)

[1] Dans certains cas, on a déterminé non seulement l’ensemble des limites d’une fonction $\psi (\lambda )$ , mais encore la fréquence de chacune de ces limites. Cela a été fait notamment pour la sommation de certaines séries divergentes (voir Borel, Leçons sur les séries divergentes, p. 5).

[2] Voir Lebesgue, Ann. de l’Éc. Norm. sup., 1910. À titre d’exercice concernant les intégrales par excès et par défaut, on pourra démontrer que, $f(x)$ étant une fonction bornée d’oscillation moyenne $\omega$ dans ${(a,b)}$ et dont les limites inférieure, supérieure et l’oscillation en $x$ sont $l(x)$ , $\mathrm {L} (x)$ et $\omega (x)$ , on a
$(b-a)\omega ={\overline {\int f(x)\,\mathrm {d} x}}-{\underline {\int f(x)\,\mathrm {d} x}}={\overline {\int \mathrm {L} (x)\,\mathrm {d} x}}-{\underline {\int l(x)\,\mathrm {d} x}}={\overline {\int \omega (x)\,\mathrm {d} x}}$ .

Les mêmes relations sont vraies si, dans la définition de $\mathrm {L} (x)$ , $l(x)$ , $\omega (x)$ , on exclut la valeur $x$ de la variable, ou si, par ces notations, on désigne les limites supérieure, inférieure et l’oscillation à droite ou à gauche, $x$ étant exclu ou non. (Voir la note 2, p. 19.)

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