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CHAPITRE III.

limite ${\mathcal {B}}$. On peut aussi remarquer que, si à la division $\Delta _{j}$ et à l’ensemble des points du carré d’aire $\mathrm {R}$ qui n’appartiennent pas à $\mathrm {E}$, on associe deux nombres $\alpha '_{j}$ et $\beta '_{j}$, analogues à $\alpha _{j}$ et $\beta _{j}$, on a

$\alpha '_{j}+\beta _{j}=\mathrm {R}$

et l’existence, qui vient d’être prouvée, de la limite de $\alpha '_{j}$ montre l’existence de la limite de $\beta _{j}$. Cette limite est l’étendue superficielle intérieure de $\mathrm {E}$, $e_{i}(\mathrm {E} )$.

Comme pour les ensembles linéaires, on dira qu’un ensemble est mesurable J et d’étendue $e(\mathrm {E} )=e_{e}(\mathrm {E} )$, si les deux étendues extérieure et intérieure sont égales.

Si nous remarquons que les carrés qui servent dans $\mathrm {A}$ sans servir dans $\mathrm {B}$ sont ceux que l’on devrait considérer pour avoir l’étendue extérieure de la frontière de $\mathrm {E}$, on voit que la frontière de $\mathrm {E}$ a pour étendue extérieure ${e_{e}(\mathrm {E} )-e_{i}(\mathrm {E} )}$ ; de là se déduit la condition nécessaire et suffisante pour qu’un ensemble soit mesurable J.

J’ai déjà employé le mot domaine, il est utile ici de préciser ce qu’il faut entendre par là.

Une courbe est l’ensemble des formules

${x=x(t)}$,${y=y(t)}$,${z=z(t)}$ ;

où $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ sont des fonctions continues définies dans un intervalle fini ${(t_{0},t_{1})}$. Les points de la courbe sont ceux que l’on obtient en donnant à $t$ une valeur déterminée quelconque ; les points qui ne correspondent qu’à une valeur de $t$ sont dits simples, les autres multiples. Si les deux points correspondant à $t_{0}$ et $t_{1}$ sont identiques, la courbe est dite fermée ; si le point $t_{0}$, $t_{1}$ ne correspond à aucune autre valeur de $t$, ce point n’est pas considéré comme multiple.

Si l’on remplace $t$ par une fonction toujours croissante ou toujours décroissante de $\theta$, on obtient une nouvelle courbe qu’on ne considère pas comme différente de la première ; mais deux courbes, auxquelles correspondent le même ensemble de points, peuvent être différentes ; c’est le cas des deux courbes, définies dans ${\left(-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\right)}$, par ${x=\sin {t}}$, ${y=0}$, ${z=0}$, et par ${x={\frac {2t}{\pi }}\sin ^{2}{\frac {\pi ^{2}}{4t}}}$, ${y=0}$, ${z=0}$.

Dans le cas d’une courbe fermée, on peut faire la transforma-