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DÉFINITION GÉOMÉTRIQUE DE L’INTÉGRALE.
de ceux des carrés qui contiennent des points de et la somme des aires de ceux dont tous les points appartiennent à . et sont plus petites que . Il faut montrer qu’elles tendent vers des limites déterminées quand tend vers zéro ; pour cela, considérons d’abord une suite de divisions , , …, auxquelles correspondent les nombres , , , , …, et telles que les correspondants tendent vers zéro ; et soit une suite de divisions auxquelles correspondent les nombres et , et telles que les nombres correspondants tendent vers zéro.
Comparons et . Les carrés de intervenant dans sont de deux espèces : les carrés qui contiennent à leur intérieur des points des côtés des carrés de intervenant dans , les autres sont les carrés . Les points des carrés forment un ensemble qui est contenu dans l’ensemble des points distants de moins de de l’un au moins des points des côtés des carrés de .
Si dans n’intervenait qu’un seul carré de et de périmètre , cet ensemble serait décomposable en domaines dont la somme des aires, au sens élémentaire du mot, serait pour ; plus généralement, si dans la somme des périmètres des carrés intervenant dans est , l’ensemble correspondant sera divisible en domaines dont la somme des aires est au plus . Ce nombre est aussi le maximum de la contribution dans des carrés .
Quant aux carrés , ils donnent évidemment une contribution au plus égale à . Donc, on a
,
et cela suffit[1] pour démontrer que et tendent vers une même limite .
Le nombre , dont l’existence vient d’être démontrée, est l’étendue extérieure de , ; mais il s’agit ici d’une étendue superficielle. Cette distinction est importante à noter, car tout ensemble de points en ligne droite a une étendue superficielle extérieure nulle et peut avoir une étendue linéaire extérieure quelconque.
On démontrerait de même que et tendent vers une même
- ↑ Comparez avec le raisonnement de la page 23.